كتب تطور الهند

خلال الفترة الفيدية (1500-500 قبل الميلاد) تطوَّر استخدام النظام العددي والعمليات الحسابيّة الأساسيّة شمالي الهند، بدافع الإنشاء الهندسي لمذابح النار ولأغراض الفلك. و قد تطلَّب علم الكونيات الهندوسيّ إتقان أعداد كبيرة جداً كالـكالبا (عمر الكون) والذي يساوي 4.320.000.000 سنة و "مدار السماء" والذي يساوي 18.712.069.200.000.000 يوجاناس. في تلك الفترة تم التعبير عن الأعداد باستخدام "طريقة تدوين الأعداد المُسمَّاة ذات القيمة المعتمدة على الخانة" و ذلك باستخدام أسماء قوى للرقم 10 مثل داسا و شاثا و ساهاسرا و أيوتا و نيوتا و بريوتا و أربودا و نياربودا و سامودورا و مادهيا و أنتا و بارادا إلخ، ويُمثِّلُ آخرها الاسم المُعطى للتريليون.(10¹²) على سبيل المثال، كان يتم التعبير عن الرقم 26.432 بالتالي "2 أيوتا، 6 ساهاسرا، 4 شاثا، 3 داسا، 2". و في النص البوذي لاليتافيستارا يُقال أن بوذا قد روى مخطط الأرقام حتى الرقم 10⁵³.

تضمَّنت أشكال الأرقام في نقوش أشوكا في النص البراهمي (منتصف القرن الثالث قبل الميلاد) إشاراتٍ منفصلة للأعداد من 1 إلى 9 و10 إلى 90 و100 إلى 1000. بينما كانت تُمثَّل مُضاعفات 100 و1000 بتعديل (أو "تشفير") رمز العدد باستخدام إشارة للعدد المضروب به. هذه الأرقام المُشفَّرة مثلت بشكل مباشر أرقام الأعداد ذات القيمة المعتمدة على الخانة المُسمَّاة واستخدمت شفهياً. كما استمر استخدامها في النقوش حتى نهاية القرن التاسع.
ابتكر أبريهاتا في نصِّه الإبداعي عام 499 ميلادي نظام رقميّ موضعيّ جديد، باستخدام الأحرف الساكنة السنسكريتية للأرقام الصغيرة والأحرف الصوتيّة (أحرف العلة) لقوى العدد 10. و باستخدام هذا النظام بات من الممكن التعبير عن أرقام حتى مليار (بليون) باستخدام باستخدام عبارات قصيرة مثلاً khyu-ghṛ تعبِّرُ عن العدد 4.320.000. لم يشتهر هذا النظام، لأنه أنتج عبارات غير قابلة للّفظ، ولكن من المحتمل أن يكون قد أدَّى إلى وضع أساس لصياغة نظام أرقام موضعيّ (يُدعى dasa-gunottara داسا-غونوتارا، أس 10) من قِبل علماء الرياضيات فيما بعد. و قد وُضِع فيما بعد (بعدة قرون) مخطط كاتابايادي katapayadi أكثر أناقةً ويُمثِّل نظام القيمة المعتمدة على الخانة بما فيه الصفر.

الأعداد ذات القيمة المعتمدة على الخانة بدون الصفر

استُخدم في النصوص والنقوش الأرقام بطريقة تدوين القيمة المُسمَّاة المعتمدة على الخانة، وبدءاً من القرن الأول الميلادي، تم توظيف طريقة تدوين أكثر فعالية في العمليات الحسابيّة. تم تنفيذ حسابات على ألواح الطين المُغطاة بطبقة رقيقة من الرمل، وهو ما يُفسِّرُ مصطلح دهولي كارانا dhuli-karana بالنسبة للحسابات الأعلى. يعتقد كارل مينينغر أنه في مثل هذه الحسابات، توجَّب على الهنود أن يستغنوا عن الأعداد المُشفَّرة وأن يكتبوا تسلسل أرقام للتعبير عن الأعداد. فُسِّر الصفر باعتباره "خانة مفقودة" بنقطة. تُعتبر مخطوطة بخشالي المخطوطة الوحيدة ذات الأمثلة المعمولة والمتاحة (على الرغم من كون المخطوطة المتاحة نسخة عن الأصليّة التي كتبت ما بين القرن الرابع والقرن السابع ميلاديّ)، واستُخدم في هذه المخطوطة نظام القيمة المعتمدة على الخانة مع نقطة للدلالة على الصفر. دُعيت النقطة بـshunya-sthāna بمعنى "الخانة الفارغة". كان هذا الرمز يُستخدم أيضاً في التعابير الجبريّة للمجهول (كما هو الحال في رمز x الجبر الحديث (س بالعربيّة)). على أي حال، فإن تاريخ مخطوطة بخشالي ما يزال قيد النقاش.
يمكن رؤية مراجع نصيّة تتعلَّق بنظام القيمة المعمتدة على الخانة بدءاً من القرن الأول الميلاديّ وصاعداً. يقول الفيلسوف البوذي فاسوباندو في القرن الأول "عندما تكون قطعة العد الطينيّة [ذاتها] في خانة الآحاد فإنها ترمز إلى واحد، وعندما تكون في خانة المئات فإنها ترمز إلى مئة". وفي تعليقٍ على اليوغا سوترا لباتانجالي يعود إلى قراءات القرن الخامس، "الخط في خانة المئات [يشير إلى] مئة، وفي خانة العشرات عشرة، وفي خانة الآحاد [يشير إلى] واحد، كما هو الحال بالنسبة للمرأة الواحدة، يمكن أن تُدعى أماً وابنةً وأختاً".
طُبق أيضاً نظامٌ يُدعى bhūta-sankhya بهوتا-سانخيا ("أرقام شيئية" أو "أرقام ملموسة") لتمثيل الأعداد في الأبيات السنسكريتيّة، باستخدام مفهوم تمثيل الرقم ليقوم مقام الرقم نفسه. و قد اشتمل النص الجاني المُعنون بـLokavibhaga بتاريخ 458 ميلادي، اشتمل على إشارة لما سبق

وهو ما يعني "خمس فراغات، بعدها اثنين وسبعة، والسماء، وواحد وثلاثة والشكل" وهو ما يشير إلى العدد 13.107.200.000. استخدمت الأرقام الشيئية على نطاق واسع في القرن السادس وصاعداً، خصوصاً بعد فارهامييرا (575 م). وقد مُثِّلَ الصفر في هذه الأعداد بـ"الفراغ" sunya أو الفضاء السماوي ambara akasha. في المقابل، اِستُخدمت النقطة مكان الصفر في الأعداد المكتوبة، وقد أُشير إليها باسم sunya-bindu.

الأعداد ذات القيمة المعتمدة على الخانة

كتب عالم الفلك والرياضيات براهماغوبتا نصَّه الإبداعي المُعنون بـ"براهما فوتا سيندهانتا" الذي حرَّف العرب عنونه وغدا "السندهند" وقد احتوى هذا الكتاب على أول معالجة رياضيّة للصفر. فقد عرَّف الصفر بأنه نتيجة طرح العدد من نفسه، كما فرض أرقام سلبيّة وناقش خصائصها عند إجراء عمليات الحسابيّة عليها. وقد أطلق على الصفر اسم shunya بمعنى الفراغ، وقد استخدم هذا المصطلح سابقاً للإشارة إلى الخانة الفارغة في نظام الأعداد ذات القيمة المعتمدة على الخانة والمكون من 9 أرقام. و قد قدَّم هذا منظوراً جديداً للِـshunya-bindu كعدد ومهَّد الطريق للتطور النهائي لرقم الصفر. وقد استمر استخدام النقطة لمئة عام على الأقل بعد هذه الفترة، وقد نُقلت إلى جنوب شرق آسيا والجزيرة العربيّة. وقد حافظ نص شارادا في كشمير على النقطة كرمز (رقم) مُمثِّلٍ للصفر حتى اليوم.
بحلول نهاية القرن السابع، بدأ ظهور الأعداد العشريّة في نصوص جنوب شرق آسيا والهند. وقد قال بعض العلماء بأنها ظهرت أبكر من ذلك. جديرٌ بالذكر، أن العديدين يستشهدون أيضاً بهبة عبارة عن صفيحة نحاسيّة في مانكاني تحمل الأرقام 346 (الموافق 594 ميلاديّ). ولكن وثوقيَّتها لا تزال محل شك. إن أول ذكر لا جدال فيه للصفر ورد في نصٍ عام 876 ميلاديّ، وقد احتوى هذا النص على العدد "270" مدوَّناً بطريقة قريبة إلى طريقة تدويننا الحاليّة. على الرغم من استخدام الأرقام البراهمية القديمة والأرقام العشريّة الحديثة في القرنين الثامن والتاسع الميلاديّ، ظهر الصفر في هذه النصوص ذاتها.