كتب بعض أنظمة الحالتين المهمة

الاستباقية في المجال

لنأخذ حالة جسيم الدوران 1/2 في المجال المغناطيسي . تفاعل هاميلتونيان لهذا النظام هو

أي ان هو مقدار العزم المغناطيسي للجسيم، و هو ناقل مصفوفات باولي . حل معادلة شرودنجر المعتمدة على الوقت عائدة إلى هذا:

أي و . مادياً، يتوافق هذا مع ناقل بلوخ المتداول بتردد زاوي . بدون فقدان العمومية، افترض أن المجال هو نقاط موحدة في ، بحيث يتم إعطاء عامل تطور الوقت كـ

يمكن ملاحظة أن عامل تطور الوقت الذي يعمل على حالة الدوران العامة لجزيء الدوران 1/2 سيؤدي إلى استباقية حول المحور المحدد بواسطة المجال المغناطيسي المطبق (المكافئ الميكانيكي الكمومي لمسافة لارمور )

يمكن تطبيق الطريقة المذكورة أعلاه على تحليل أي نظام حالتين عام يتفاعل مع بعض المجالات (ما يعادل المجال المغناطيسي في الحالة السابقة) إذا تم التفاعل بواسطة اقتران مناسب مماثل للعزم المغناطيسي . يمكن اعتبار البادئة لناقل الحالة (التي لا تحتاج إلى الغزل المادي كما هو الحال في الحالة السابقة) على أنها البادئة لناقل الحالة على مجال بلوخ .

التمثيل في المجال بلوتش لمتجه الحالة سيكون ببساطة ناقل قيم التوقعات . كمثال، ضع في اعتبارك متجه الحالة الذي هو تراكب تطبيعي و ، أي ناقلات يمكن تمثيلها في ك

مكونات على المجال بلوخ ستكون ببساطة . هذا ناقل وحدة يبدأ بالإشارة و حولها بطريقة عسرى. بشكل عام، من خلال دوران حول أي ناقل حالة يمكن تمثيلها كـ مع معاملات حقيقية من و . مثل متجه الحالة هذا يتوافق مع ناقل بلوخ في : xz تصنع زاوية مع المحور- z . سوف يستمر هذا الناقل في الظهور ك . من الناحية النظرية، من خلال السماح للنظام بالتفاعل مع مجال اتجاه معين وقوة معينة لفترات دقيقة، من الممكن الحصول على أي اتجاه لمتجه بلوخ ، وهو ما يعادل الحصول على أي تراكب معقد. هذا هو الأساس للعديد من التقنيات بما في ذلك الحوسبة الكمومية والتصوير بالرنين المغناطيسي .

التطور في مجال اعتمادية الوقت: الرنين المغناطيسي النووي

الرنين المغناطيسي النووي (NMR) هو مثال مهم في ديناميكيات أنظمة الحاليتن لأنه يتضمن الحل الدقيق لهاملتوني يعتمد على الوقت. يتم تحقيق ظاهرة الرنين المغناطيسي النووي عن طريق وضع نواة في حقل ثابت قوي B ₀ ("حقل التثبيت") ثم تطبيق مجال ضعيف وعرضي B ₁ يتأرجح عند بعض الترددات الراديوية ω _r . بشكل صريح، ضع في اعتبارك جسيم الدوران 1/2 في حقل احتجاز وحقل الترددات المستعرضة B ₁ يدوران في xy بطريقة عسرى () حول B ₀ :

كما هو الحال في المبادرة الحرة، فإن هاميلتون هو ، وتطور ناقل الحالة يتم العثور عليها عن طريق حل معادلة شرودنجر المعتمدة على الوقت . بعد بعض التلاعب (كما هو موضح في القسم المنهار أدناه) ، يمكن إظهار أن معادلة شرودنغر تصبح

وفقًا للقسم السابق، فإن حل هذه المعادلة يحتوي على ناقل بلوخ مع تردد ضعف حجم المتجه. إذا كانت قوية بما فيه الكفاية، فإن بعض نسبة السبين سوف تشير مباشرة للأسفل قبل إدخال المجال الدوار. إذا تم اختيار التردد الزاوي للمجال المغناطيسي الدوار مثل هذا ، في الإطار الدوّار، سيبدأ متجه الحالة في الجوار مع التردد ، وبالتالي سوف تنقلب من أسفل إلى أعلى و تطلق الطاقة في شكل فوتونات قابلة للكشف . هذا هو الأساس الأساسي للرنين المغناطيسي النووي ، ومن الناحية العملية يتم تحقيقه عن طريق المسح الضوئي حتى يتم العثور على تردد الرنين عند هذه النقطة ستصدر العينة الضوء. يتم إجراء حسابات مماثلة في الفيزياء الذرية، وفي حالة عدم دوران المجال، ولكن تتأرجح بسعة معقدة، يتم استخدام تقريب الموجة الدوارة في استخلاص مثل هذه النتائج.

العلاقة مع معادلات بلوخ

يمكن اشتقاق معادلات بلوخ الضوئية لمجموعة من جزيئات الدوران 1/2 من معادلة شرودنجر المعتمدة على الوقت لنظام من مستويين. بدءا من هاميلتوني المذكور سابقا ، يمكن كتابتها في تدوين الجمع بعد إعادة ترتيبها

التضاعف في مصفوفة باولي والاقتران المترافق للوظيفة الموجية، وبالتالي توسيع ناتج حصيلة مصفوفات باولي، يكون هكذا:

إن إضافة هذه المعادلة إلى بديلها المتقارب يعطي جانبًا يساريًا من النموذج

والجهة اليمنى من النموذج

كما ذكرنا سابقًا، فإن القيمة المتوقعة لكل مصفوفة باولي هي مكون من متجه بلوخ ، . معادلة الجانبين الأيسر والأيمن وملاحظة هي النسبة المغنطيسية ، يعطي شكل آخر لمعادلات الحركة لمتجه بلوخ

حيث حقيقة تم استخدامها في شكل متجه و يمكن التعبير عن هذه المعادلات الثلاث من حيث المنتوج المتقاطع

كلاسيكيًا، تصف هذه المعادلة ديناميكيات الدوران في المجال المغناطيسي. يتكون المغناطيس المثالي من مجموعة من السبينات المتطابقة التي تعمل بشكل مستقل، وبالتالي التمغنط الكلي يتناسب مع ناقلات بلوخ . كل ما تبقى للحصول على الشكل النهائي لمعادلات بلوخ البصرية هو تضمين الظواهر.

كجانب نهائي، يمكن اشتقاق المعادلة أعلاه من خلال النظر في التطور الزمني لعامل الزخم الزاوي في تصوير هايزنبرغ .

، هذه المعادلة هي نفس المعادلة السابقة .