كتب النتائج الابتدائية لبديهيات الزمر
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
النتائج الابتدائية لبديهيات الزمر (معلومة)
عادة ما تندرج الحقائق الأساسية عن الزمر التي يمكن استنتاجها مباشرة من البديهيات تحت ما يُعرف بنظرية الزمر الابتدائية. فمثلًا تُظهر التطبيقات المتكررة لبديهية التجميعية أن القاعدة:
تعمَّم لكل ما زاد على ثلاثة عوامل. وعادة ما تُحذف الأقواس في هذه الحالة لأنه يجوز وضعها في أي مكان داخل تلك السلسلة.
يمكن غض النظر جزئيًّا عن البديهيات، فنفترض وجود المحايد الأيسر والمعاكس الأيسر؛ إذ يمكن لكليهما أن يبدوا في الواقع ذوَي جهة، والنتيجة من ذلك ستكافئ التعريف المذكور أعلاه كالتالي.
وحدة العنصر المحايد ووحدة العناصر المعاكسة
إن وحدة العنصر المحايد والعناصر المعاكسة لكل عنصر نتيجتان مهمتان لبديهيات الزمر. ولا يمكن لزمرة ما أن تحتوي على أكثر من عنصر محايد واحد، وكل عنصر في الزمرة يملك عنصرًا مقابلًا واحدًا بالضبط. وبالتالي فمن الشائع تعريفهما بقول المحايد والمعاكس.
لإثبات وحدة العنصر المعاكس للعنصر ، لنفترض أن للعنصر عنصران معاكسان و في الزمرة ، حيث
وبالتالي فإن كلا العنصرين و متساويان. وبعبارة أخرى فإن للعنصر معاكسًا واحدًا فقط. ويمكن إثبات وحدة العنصر المحايد في زمرة ما بنفس الطريقة، فلنفترض أن زمرة بها عنصران محايدان و ، حيث ، وبالتالي فإن و متساويان.
القسمة
من الممكن القيام بعملية القسمة في الزمر: ليكن و عنصرين من الزمرة ، إذن هناك حل وحيد للمعادلة . وبضرب حدي هاته المعادلة في العنصر من الجهة اليمنى يعطي الحل . ويوجد بالمثل حل وحيد في للمعادلة ، وهو . وليس من الضروري عامةً لكل من و أن يتفقا.
إن نتيجة ذلك هي أن الضرب في العنصر من زمرة ما هو دالة تقابلية. وعلى وجه التحديد، إذا كان عنصرًا من الزمرة فإنه يوجد دالة تقابلية على تدعى الانزلاق الأيسر بـ ، وهو يرسل إلى . وبالمثل يوجد دالة تقابلية على تدعى الانزلاق الأيمن بـ ، وهو يرسل إلى . وإذا كانت أبيلية فإن الانزلاقين الأيمن والأيسر بعنصر من عناصرها هما ذاتهما.
