كتب العدالة الادارية
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
عرض المزيد
المصدر: mawdoo3.com
معادلة الدائرة (معلومة)
الصورة العامة لمعادلة الدائرة
يمكن اشتقاق معادلة الدّائرة عن طريق رسم مُثلَّثٍ قائم الزّاوية وتره مُمتَدّ من مركز الدّائرة إلى أيّة نقطة على محيطها، ثُمَّ إكمال رسم الضلعين الآخرين عن طريق رسم الضلع الأول الذي يتمثل بعمود ساقط من نقطة تقاطع الوتر مع محيط الدائرة، ورسم الضلع الآخر ليكون أفقياً ويمتد من مركز الدائرة نحو الضلع العمودي حتى يتلاقى معه، ثم استخدام قانون فيثاغورس وتطبيقه عليه، وفق الحالتين الآتيتين:
- معادلة الدائرة المركزية: لو كانت هناك دائرة مركزيّة؛ أي أن مركزها هو النقطة (0،0)، ورُسِم مُثلّث قائم الزّاوية في داخلَها، فيُمكن الإشارة إلى طول قاعدة المُثلَّث القائم المرسوم داخلها بالرّمز (س)، والارتفاع بالرّمز (ص)، وكما ذُكر سابقاً فإن طول الوتر فيها مساوٍ لطول نصف قطرها، وعليه إنَّ معادلة هذه الدائرة ستكون عن طريق تطبيق قانون فيثاغورس على المثلث قائم الزاوية كما يأتي:
- معادلة الدائرة المركزية: س²+ص²=نصف القطر².
- فمثلاً لو كانت هناك دائرة مركزية نصف قطرها 5سم، فإن معادلتها ستكون: س²+ص²=25، ولو كانت قيمة س فيها تساوي 2 فإن قيمة ص هي: 2²+ص²=25، وبحل المعادلة ينتج أن ص=21√.
- معادلة الدائرة غير المركزية: أما إذا كانت الدائرة غير مركزيّةً؛ أي أنَّ مركزها لا يقع على النقطة (0،0)؛ فإن طول قاعدة المُثلَّث القائم هو الرمز (س) مطروحاً منه الإحداثي السينيّ لمركز هذه الدائرة، أمّا ارتفاع هذا المثلَّث فيُرمَز له بالرمز (ص) مطروحاً منه الإحداثيّ الصاديّ لمركز الدائرة، وبذلك يمكن اشتقاق معادلةٍ عامة لأية دائرة سواء أكانت دائرة مركزية أم غير مركزية، وهي:
- معادلة الدائرة (الصورة القياسية): (س-أ)²+(ص-ب)²=(نصف القطر)²؛ حيث إنَّ:
- أ: الإحداثيّ السينيّ لمركز الدّائرة.
- ب: الإحداثيّ الصاديّ لمركز الدّائرة.
وبإعادة ترتيب المعادلة السابقة وتجميع الثوابت مع بعضها، تظهر الصورة العامة لمعادلة الدائرة وهي:
- معادلة الدائرة (الصورة العامة): س²+ص²+دس+و ص+ج=0؛ حيث إنَّ:
- د=-2×الإحداثيّ السينيّ لمركز الدّائرة.
- و=-2×الإحداثيّ الصادي لمركز الدّائرة.
- ج=الإحداثيّ السينيّ لمركز الدّائرة²+الإحداثيّ الصادي لمركز الدّائرة²-نصف قطر الدائرة².
- فمثلاً لو كانت هناك دائرة نصف قطرها 6سم، ومركزها هو النقطة (3,4) فإن معادلتها ستكون: (س-3)²+(ص-4)²=36، وبفك الأقواس يمكن الحصول على الصورة العامة لمعادلة الدائرة، وهي: س²+ص²-6س-8ص-11=0، ولو كانت قيمة س مثلاً تساوي 3 فإن قيمة ص هي: (3-3)²+(ص-4)²=36، وبحل المعادلة ينتج أن ص=10، -2.
أمثلة متنوعة على معادلة الدائرة
- المثال الأول: إذا كانت الصورة القياسية لمعادلة الدائرة هي: (س+11)²+(ص-9)²=16، جد الصورة العامة لها.
- الحل: بفك الأقواس ينتج أن: (س+11)²+(ص-9)²=16=س²+22س+121+ص²-18ص+81=16، وبتبسيط المعادلة ينتج أن: س²+ص²-18ص+22س+186=0.
- المثال الثاني: جد معادلة الدائرة المركزية التي يبلغ نصف قطرها 4.
- الحل: باستخدام الصورة القياسية لمعادلة الدائرة المركزية: س²+ص²=(نصف القطر)²، ينتج أن: س²+ص²=4²، ومنه س²+ص²=16.
- المثال الثالث: جد معادلة الدائرة إذا كان مركزها (3،-5)، وتقع النقطة (-1،-8) على محيطها.
- الحل:
- استخدام الصورة القياسية لمعادلة الدائرة: (س-أ)²+(ص-ب)²=(نصف القطر)²، لينتج أن: (س-3)²+(ص+5)²=(نصف القطر)².
- تعويض قيمة النقطة (-1،-8) في المعادلة السابقة لحساب قياس نصف القطر، لينتج أن: (-1-3)²+(-8+5)²=(نصف القطر)²، ومنه نصف القطر=5.
- تعويض قيمة نصف القطر في المعادلة لتصبح: (س-3)²+(ص+5)²=(نصف القطر)²، (س-3)²+(ص+5)²=25، وهي الصورة القياسية لمعادلة الدائرة، ويمكن تفكيك الأقواس وتبسيط المعادلة لتصبح: س²+ص²-6س+10ص+9=0
