كتب اعداد نسبية

تعريف العدد النسبي

الأعداد النسبية أو الأعداد الكسرية (بالإنجليزية: Rational number) هي الأعداد التي يُمكن كتابتها على صورة أ/ب بحيث أ و ب هما عددان صحيحان، وب لا تُساوي الرقم صفر، فمعظم الأرقام التي تُستخدم في الحياة اليومية هي أعداد نسبية، أمّا الأعداد غير النسبية فهي الأعداد التي لا تحتوي على أعداد صحيحة في البسط أو المقام، مثل الأرقام التي تحتوي على جذور تربيعية لمربع غير كامل مثل الجذر التربيعي للرقم 3، والكسور العشرية غير المنتهية مثل الرقم .......0.131331333، والرقم باي (Pi)، وتجدر الإشارة إلى أنّ الأعداد النسبية وغير النسبية تنطبق عليها خصائص نظام الأعداد الحقيقية.

يُطلق على العدد النسبي أو العدد الكسري عدد نسبي موجب إذا كانت إشارة العددين في البسط والمقام متشابهة، أمّا إذا كانت إشارة العددين مختلفة في البسط والمقام فيُطلق على العدد النسبي في هذه الحالة عدد نسبي سالب، ويمكن توضيح العلاقة بين الأعداد النسبية، وبقيّة الأعداد في علم الرياضيات كما يأتي:
الأعداد النسبية تضم جميع الأعداد الحقيقية، والأعداد الحقيقة تضم جميع الأعداد الصحيحة، والأعداد الصحيحة تضم جميع الأعداد الطبيعية.

أمثلة على الأعداد النسبية

الأعداد الصحيحة

تُعتبر جميع الأعداد الصحيحة أعداداً نسبيةً؛ وذلك لأنّ العدد الصحيح يُمثّل البسط في العدد النسبي، أمّا المقام فهو الرقم واحد، وذلك كما هو موضّح في الأمثلة الآتية:

• الرقم 5 يُعتبر عدداً نسبيّاً؛ وذلك لأنّه يُمكن كتابته على صورة 5/1.
• الرقم -12 يُعتبر عدداً نسبيّاً؛ وذلك لأنّه يُمكن كتابته على صورة 12/1-.
• الرقم 0 يُعتبر عدداً نسبيّاً؛ وذلك لأنّه يُمكن كتابته على صورة 0/1.

الكسور والأعداد الكسرية

تُعتبر جميع الكسور التي يُمكن كتابتها على صورة أ/ب، بحيث تكون قيمة أ وب فيها أعداداً صحيحةً، وقيمة ب لا تُساوي صفر أعداداً نسبيةً، كما أنّ الأعداد الكسرية التي يُمكن كتابتها على صورة أ/ب بحيث تكون أ وب فيها أعداداً صحيحةً، وب لا تُساوي صفر تُعتبر أيضاً أعداداً نسبيةً، وذلك كما هو موضّح في الأمثلة الآتية:

• الكسر 7/22- يُعتبر عدداً نسبيّاً؛ وذلك لأنّ الرقمين -22 و7 يُعتبران عددين صحيحين، والرقم 22 لا يُساوي صفراً.
• العدد الكسري 3 و 1/8 يُعتبر عدداً نسبيّاً؛ وذلك لأنّه يُمكن تحويله إلى كسر 25/8 الذي يُعتبر نسبيّاً حيث إنّ العددين 25 و 8 عددان صحيحان، والرقم 8 لا يُساوي صفراً.

ملاحظة: بعض الكسور والأعداد الكسرية لا تُعتبر نسبيّةً، وذلك كما هو موضّح في الأمثلة الآتية:

• الكسر 155/0 لا يُعتبر نسبيّاً؛ فبالرغم من أنّ العددين 155 وصفر عددان صحيحان لكنّ المقام يُساوي صفراً، وهذا يؤدّي إلى قيمة غير مُعرّفة.
• الكسر π/4 لا يُعتبر نسبيّاً على الرغم من أنّ المقام عدد صحيح ولا يُساوي صفراً، إلّا أنّ π لا تُعتبر عدداً نسبيّاً.

الكسور العشرية

تُعتبر الكسور العشرية نسبيةً إذا كانت منتهيةً أو دوريّةً؛ وذلك لأنّه يُمكن كتابتها على صورة أ/ب كما هو موضّح في الأمثلة الآتية:

• الكسر العشري 1.8 يُعتبر عدداً نسبيّاً، وذلك لأنّه يُمكن التعبير عنه على صورة 1.8/1، وعند ضرب كلا البسط والمقام بالرقم 10/10 ينتج الرقم 18/10 وهو عدد نسبي، حيث إنّ الرقمين 18 و10 عددان صحيحان، والرقم 10 لا يُساوي صفراً.
• الكسر العشري الدوري ...3.333 يُعتبر عدداً نسبيّاً؛ وذلك لأنّه يُمكن كتابته على صورة العدد الكسري 3 و1/3، ويُمكن تحويل هذا العدد الكسري إلى 10/3 والذي يُعتبر عدداً نسبيّاً.

يُمكن تحويل الكسور العشرية الدورية إلى أعداد نسبية؛ أيّ عدد يحتوي على رقم صحيح في البسط والمقام، وذلك باتباع مجموعة من الخطوات، كما هو موضح في المثال الآتي:
لتحويل العدد الدوي 0.09 نفرض أنّ ن = ....0.090909

وبضرب طرفيّ المساواة بالرقم 100 نحصل على:

100ن = 09.090909

وبطرح قيمة المتغيّر ن من الطرفين نحصل على:

100ن - ن = (....09.090909) - (....0.090909)

وبالتالي يُمكن حل هذه المعادلة، والحصول على قيمة ن كما يأتي:

99ن = 9، ومنه ن = 9/99 أيّ ن = 1/11.

ملاحظة: إذا كانت الكسور العشرية غير منتهية وغير دورية فإنّها لا تُعتبر نسبيّةً، وأشهر مثال هو π الذي يُساوي ......3.14159265359 .

أشهر الأمثلة على الأعداد غير النسبية

من أشهر الأمثلة على الأعداد غير النسبية ما يأتي:

• العدد النيبيري هـ: يُمثّل العدد النيبيري كسراً عشريّاً غير منتهٍ، وتُمثّل الأرقام الآتية المنازل العشرية الأولى في هذا الرقم: 2.7182818284590452353602874713527 .
• الرقم π: وهو عبارة عن كسر عشري غير منتهٍ أيضاً، والأرقام الآتية تُمثّل المنازل العشرية الأولى فيه: 3.1415926535897932384626433832795 .
• بعض الجذور التربيعية والتكعيبية: التي تُساوي كسوراً عشريّةً غير منتهية مثل:
  • الجذر التربيعي للرقم 3 ويُساوي ....1.7320508075688772935274463415059
  • الجذر التربيعي للرقم 99 ويُساوي .....9.9498743710661995473447982100121

تجدر الإشارة إلى أنّه ليس جميع الجذور التربيعيية والتكعيبية تُعتبر غير نسبية؛ فمثلاً الجذر التربيعي للرقم 4 يُساوي 2 وبالتالي هو نسبيّ، بالإضافة إلى أنّ حاصل ضرب عددين غير نسبيين قد يؤدّي في بعض الأحيان إلى الحصول على عدد نسبيّ؛ مثل حاصل ضرب الجذر التربيعي للرقم 2 في الجذر التربيعي للرقم 2 حيث تكون النتيجة 2 وهو عدد نسبيّ.

خصائص الأعداد النسبية

يُمكن تلخيص خصائص الأعداد النسبية كما يأتي:

• عند ضرب البسط والمقام للعدد النسبي بعدد صحيح لا يُساوي صفراً، فإنّ ذلك لا يؤثّر على العدد النسبي أو يُغيّر من قيمته، فمثلاً عند ضرب كلا البسط والمقام للعدد النسبي 2/5 بالرقم 3 فإنّ الناتج يكون 6/15 وهو عدد نسبي، وعند تبسيط هذه القيمة لأبسط صورة يكون الناتج 2/5.
• عند قسمة البسط والمقام للعدد النسبي على عدد صحيح لا يُساوي صفراً، فإن الناتج لا يؤثّر على العدد النسبي أو يُغيّر من قيمته، فمثلاً عند قسمة البسط والمقام للعدد النسبي 6/15 على الرقم 3 فإنّ الناتج يكون 2/5 وهو عدد نسبي.
• عند ضرب، أو جمع، أو طرح عددين نسبيين فإنّ الناتج يكون دائماً عدد نسبي، فلا يُمكن الحصول على عدد غير نسبيّ.
• عند جمع عددين نسبيين لهما نفس المقام، فإنّ الناتج يكون حاصل مجموع البسط في كلا العددين، ويبقى المقام كما هو.
• عند ضرب عددين نسبيين فإنّ الناتج يكون حاصل ضرب البسط/حاصل ضرب المقام.
• مربع الجذر التربيعي يُساوي دائماً عدداً نسبيّاً، وهو العدد الموجود داخل الجذر.
• حاصل ضرب الجذور غير النسبيّة يؤدّي إلى الحصول على عدد نسبي في بعض الأحيان، فمثلاً عند ضرب الجذر التربيعي للرقم 2 بالجذر التربيعي للرقم 8 فإنّ الناتج يكون الجذر التربيعي للرقم 16 ويُساوي 2، وهو عدد نسبي.
• إذا كان العامل المشترك بين البسط والمقام في العدد النسبي هو الرقم 1 فقط، فإنّه يُطلق عليه الصورة القياسية للعدد النسبي.
• إنّ عملية جمع أو طرح الأعداد غير النسبية لا يُمكن أن تؤدّي إلى الحصول على أعداد نسبية، إلّا إذا كان الرقمان متعاكسين في الإشارة ويلغيان بعضهما، فمثلاً عملية جمع π + -π تؤدّي إلى الحصول على الرقم صفر، وهو عدد نسبي.

أسئلة متنوعة حول العدد النسبي

السؤال الأول: هل الكسور الآتية تُمثّل أعداداً نسبيةً أم غير نسبية؟
أ) 2/7: عدد نسبيّ؛ وذلك لأنّ الرقم 2 يُمثّل عدداً صحيحاً، والرقم 7 يُمثّل عدداً صحيحاً أيضاً.

ب) 0/0: عدد غير نسبيّ؛ وذلك لأنّ المقام يحتوي على الرقم صفر.

ج) -9: عدد نسبيّ، وذلك لأنّه يُمكن كتابته على الصورة 9/1-.

د) 0: يُمثّل عدداً نسبيّاً.

السؤال الثاني: هل الكسور العشرية الآتية تُمثّل أعداداً نسبيةً أم غير نسبية؟
أ) ....1.232323- : عدد نسبيّ؛ وذلك لأنّه كسر عشري دوريّ يتكرر فيه الرقمان 2 و3 بنفس النمط.

ب)....3.141592653 : عدد غير نسبيّ؛ وذلك لأنّه كسر عشري غير منتهٍ، وليس فيه أرقام تتكرر بنفس النمط.

ج) 0.123456789 : عدد نسبيّ؛ وذلك لأنّه كسر عشري منتهي.

السؤال الثالث: ما هو الرقم النسبي الذي يقع في منتصف المسافة بين الرقمين 1/5 و 4/9؟
يتمّ حلّ هذا السؤال بإيجاد المتوسط الحسابي للرقمين، وذلك كما يأتي:

• إيجاد حاصل جمع القيمتين: 1/5 + 4/9 = 29/45
• قسمة الناتج على 2 ويُساوي 29/90.
• يمثل الرقم 29/90 الرقم النسبي الذي يقع في منتصف المسافة بين الرقمين.

السؤال الرابع: أيّ القيم الآتية تُمثّل القيمة التي تقع في منتصف المسافة تماماً بين العددين النسبيين 2/3 و 4/3؟

أ) 3/5 ب) 5/6 ج)7/12 د)9/16 هـ)17/4

الحلّ: الإجابة الصحيحة هي هـ، وذلك لأنه عند توحيد مقامات كلا الرقمين نحصل على الرقمين 8/12 و 9/12، وعند ضرب الناتج بالرقم 2 نحصل على الرقمين 16/24 و 18/24، ونقطة المنتصف بين هذين الرقمين هي النقطة 17/24.

السؤال الخامس: هل القيم الآتية تُعتبر كسوراً نسبيّةً أم غير نسبية؟
أ)3/4: عدد نسبيّ؛ وذلك لأنّ البسط والمقام هما عددان صحيحان، والمقام لا يُساوي صفراً.

ب)90/12007: عدد نسبيّ؛ وذلك لأنّ البسط والمقام هما عددان صحيحان، والمقام لا يُساوي صفراً.

ج)12: عدد نسبيّ؛ وذلك لأنّه يُمكن كتابته على صورة 12/1.

د)الجذر التربيعي للرقم 5: عدد غير نسبيّ؛ وذلك لأنّه يُساوي ...2.2360 وهو كسر عشري غير منتهٍ.

هـ)العدد الكسري 1و 1/2: عدد نسبيّ؛ وذلك لأنّه يُساوي الكسر 3/2 الذي يُعتبر عدداً نسبيّاً، حيث إنّ البسط والمقام يُمثّلان عددين صحيحين، والمقام لا يُساوي صفراً.

السؤال السادس: أكمل المتتالية الآتية بأربعة كسور نسبيّة أخرى:

......................،3/9- ،2/6 - ،1/3-

الحل: يُمكن الحصول على الحدّين الثاني والثالث بضرب الرقم 1/3- بالرقم 2/2 و 3/3 على التوالي، وبالتالي يُمكن الحصول على الحدود الأربع الأخيرة بضرب الرقم -1/3 بالرقم 4/4 و 5/5 و 6/6 و 7/7 على التوالي للحصول على الأرقام 4/12- و 5/15- و 6/18- و 7/21-.