كتب vector differential
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
تفاضل المتجه (معلومة)
يمكن تشبيه التكامل الخطي في تفاضل المتجه كمقياس للتأثير الكلي لمجال معطى على طول المنحنى.
التكامل الخطي لمجال قياسي
يمكن تفسير التكامل الخطي على مجال قياسي بأنه المساحة تحت المجال المنحوتة بمنحنى معين. تخيل السطح المنشأ بـz = f(x,y) والمنحنى C في المستوى x-y. يكون التكامل الخطي لـf هو المساحة الناتجة من نقش هذه النقاط على السطح C مباشرة.
تعريف
إذا كان لدينا مجال قياسي f : U ⊆ Rn → R, يعرف التكامل الخطي على منحنى C ⊂ U is على أنه
حيث
r: [a, b] → C تقابل بارامتري للمنحنى C بحيث أن r(a) وr(b) يعطي النقاط الطرفية لـC.
الاشتقاق
باستخدام التعاريف السابقة لـf, C وصورتها البارامترية r(t) يمكن إنشاء التكامل من مجموع ريمان وذلك بتقسيم الفترة [a,b] إلى n فترة طولها Δt = (b − a)/n. وبجعل tiالنقطة الـi على [a,b], بالتالي r(ti) تعطينا موقع النقطة i على المنحنى. ونكون قد قربنا المنحنى C بمسار مضلع.
وبما أن المسافة بين كل نقطتين متجاورتين هي:
وبتعويضها في مجموع ريمان
وهذا هو مجموع ريمان للتكامل
التكامل الخطي لمجال متجه
تعريف
بالنسبة لـ مجال متجه F : U ⊆ Rn → Rn, يعرف التكامل الخطي على منحنى C ⊂ U, في اتجاه r, كما يلي:
حيث · هو الضرب القياسي r: [a, b] → C صورة التقابل البارامترية للمنحنى C بحيث r(a) وr(b) تعطي النقاط ال C. أي أن التكامل الخطي لمجال قياسي ما هو إلا تكامل خطي لمجال متجه تكون المتجهات فيه دائمًا مماسية على الخط.
الاشتقاق
بنفس الطريقة والتعاريف السابقة، ولكن بدلًا من حساب المسافات بين النقاط، سيتم احتساب إزاحات متجهاتها, Δsi. وبحساب F عند جميع النقاط كما سبق وبأخذ الضرب القياسي مع كل إزاحة نحصل على نصيب كل جزء من F" على C. بي
نلاحظ أن متجه الإزاحة بين كل نقطتين متتابعتين على المنحنى هو
وبتعويض ذلك في مجموع ريمان نحصل على
وهي كذلك مجموع ريمان للتكامل المعرف آنفًا.
استقلالية المسار
إذا كان المجال F هو تدرج لمجال قياسي G, أي,
فإن الاشتقاق للدالة المركبة من G و(r(t هو
والذي يكون معامل التكامل للتكامل F على (r(t. وعليه إذا علم المسار C , فإن
وبتعبير آخر، تكامل F على C يعتمد فقط على قيم G في النقاط (r(b و(r(a وهو بالتالي فهو مستقل عن المسار بينها.
التطبيقات
تطبيقات التكامل الخطي تشمل الشغل في المجالات الميكانيكية، الكهرومغناطيسية وميكانيكا الكم.
