كتب various examples of trigonometry

• المثال الأول: في مُثلث قائم الزاوية، إذا كان طول الوتر يُساوي 4.9سم، وكان طول الضلع المقابل للزاوية θ يُساوي 2.8سم، أما طول الضلع المجاور لهذه الزاوية فهو 4سم، فإذا كان قياس الزاوية θ يُساوي 35، فما هو جيب هذه الزاوية؟
  • الحل:
  • جا س= الضلع المُقابل للزاوية θ÷ وتر المثلث
  • جا 35= 2.8÷ 4.9= 0.57.

• المثال الثاني: في مُثلث قائم الزاوية، إذا كان طول الوتر يُساوي 25سم، وكان طول الضلع المقابل للزاوية س يُساوي 24سم، أما طول الضلع المجاور لهذه الزاوية فهو 7سم، فما هو جيب، وجيب تمام، وظل هذه الزاوية؟
  • الحل:
  • جا س= الضلع المُقابل للزاوية س÷ وتر المثلث= 24÷ 25= 0.96.
  • جتا س= الضلع المجاور للزاوية س÷ وتر المثلث=7÷ 25= 0.28.
  • ظا س= الضلع المجاور للزاوية س÷ الضلع المُقابل للزاوية= 24÷7= 3.42.

• المثال الثالث: في مُثلث قائم الزاوية إذا كان جا س= 0.4، جتا س= 0.2، جد قيمة ظا س.
  • الحل:
  • ظا س= جاس/ جتا س= 0.4/0.2= 2.

• المثال الرابع: بسّط التعابير الآتية إلى أبسط صورة:
  • جا (2س). قا(س)+ 2 جا (-س).
  • (جا 15 +جتا 15)².

• الحل:
  • جا (2س). قا(س)+ 2 جا (-س)
    • جا (2س)= 2.جا س.جتاس
    • قا(س)= 1/جتا س.
    • 2 جا (-س)= - 2جا س.
    • بضرب الصيغ السابقة ببعضها ينتج أن: (2×جا س×جتاس) × (1/جتا س) + -2×جا س= 2×جاس - 2×جاس= 0.
  • (جا 15 +جتا 15)².
    • بفك الأقواس ينتج أن: (جا² 15+جتا² 15) + (2×جا 15×جتا 15).
    • (جا² 15+جتا² 15)= 1.
    • (2×جا 15×جتا 15)= جا 2س= جا 30= 0.5.
    • بتجميع القيم السابقة ينتج أن:
    • (جا 15 +جتا 15)²= 1+0.5=1.5.

• المثال الخامس: إذا كان جتا س= 4/5، جد قيمة جا 2س.
  • الحل:
  • جا 2س= 2 جاس جتاس، ولحساب قيمة جا س، يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس، كما يلي:
    • جتا س= الضلع المجاور للزاوية س/ وتر المثلث= 4/5، ومنه الضلع المجاور للزاوية س=4، والوتر= 5، وبتطبيق نظرية فيثاغور ينتج أن: الوتر²=الضلع الأول²+الضلع الثاني²، ومنه: 5²=4²+الضلع الثاني²، وبترتيب المعادلة وأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: الضلع الثاني وهو المقابل للزاوية س= 3.
    • جا س= الضلع المقابل للزاوية س/الوتر= 3/5.
    • بتطبيق ذلك على القانون أعلاه: جا 2س= 2 جاس جتاس، ينتج أن جا 2س= 2× 3/5 × 4/5= 24/25.

• المثال السادس: إذا كان طول الضلع أب، أو القاعدة في المثلث أب ج يساوي ج، وطول الضلع أج يساوي 3سم، والضلع ب ج يساوي أ، وقياس الزاوية ج= 85 درجة، وقياس الزاوية أ = 35 درجة، ما هو قياس الضلعين أ، ج، والزاوية ب.
  • الحل:
  • قياس الزاوية ب= 180-(أ+ج)= 180- (35+85)= 60 درجة ؛لأن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة.
  • بتطبيق قانون الجيب:
    • (أ/جا أَ)= (ب/جا بَ)= (جـ/جا جـَ): ينتج أن:
    • 3/جا60= أ/جا 35، ومنه: أ= 1.99سم.
    • 3/جا60= ج/جا 85، ومنه: ج= 3.45سم.

• المثال السابع: جد قيمة ما يلي:
  • جتا 105، باستخدام حقيقة: 105=60+45.
  • جا 60 جتا 30 + جتا 60 جا 30.

• الحل:
  • جتا 105، عند التعبير عنه كمجموع زاويتين باستخدام: جتا (س+ص) = جتا (س) جتا (ص) - جا (س) جا (ص)، هو:
    • جتا 105= جتا (60+45)= جتا (60) جتا (45) - جا (60) جا (45)= 0.5 × 2/2√ - 2 /3√× 2/2√ = 2√-6√/4.
  • جا 60 جتا 30 + جتا 60 جا 30، يمكن حل هذه المسألة ببساطة عن طريق الاستفادة من صيغة: جا (س±ص) = جا (س) جتا (ص) ± جتا (س) جا (ص)، لينتج ما يلي:
    • جا 60 جتا 30 + جتا 60 جا 30 = جا (60+30)= جا (90) = 1.

• المثال السابع: إذا كان جا أ= 0.1، جتا ب= 0.1، جد قيمة جا (أ- 2ب)، علماً أن: ب تقع في الربع الرابع، وأ تقع في الربع الأول.
  • الحل:
  • جا (أ- 2ب)، يمكن كتابتها وفق الصيغة: جا (س±ص) = جا (س) جتا (ص) ± جتا (س) جا (ص)، على شكل:
  • جا (أ- 2ب)= جا (أ) جتا (2ب) - جتا (أ) جا (2ب)، أما جتا 2ب، جا 2ب، فيمكن التعبير عنهما باستخدام الصيغتين: جا 2س، جتا 2س= جتا² س- جا² س، جا 2س= 2 جا س جتا س، على شكل:
    • جتا 2ب = جتا² ب- جا² ب.
    • جا 2ب = 2 جاب جتاب.
  • حساب القيم المجهولة في السؤال، مثل جتا أ، جا ب، كما يلي:
    • جا² ب = 1- جتا² ب= 1- 0.1²= 0.99، ومنه: جا ب= 0.995-؛ لأن ب تقع في الربع الرابع وفق معطيات السؤال.
    • جتا² أ = 1- جا² أ= 1- 0.1²، ومنه: جتا أ= 0.995؛ لأن أ تقع في الربع الأول وفق معطيات السؤال.
  • بتعويض ما سبق ينتج أن:
    • جا (أ- 2ب)= جا أ× (جتا² ب- جا² ب) - جتا أ× 2 × جاب ×جتاب= 0.1× (0.1²- ²(0.995-))- 0.995× 2 × -0.995 × 0.1= 0.1.

لمزيد من المعلومات حول المثلثات يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث رياضيات عن المثلثات.