كتب various examples of triangles

• المثال الأول: مثلثان متشابهان، أطوال أضلاع المثلث الأول هي: أ، 3 سم، وأطوال أضلاع المثلث الثاني المقابلة لها هي: 14، 21 سم، ما هي قيمة أ؟
  • الحل:
  • بما أن المثلثين متشابهان، فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (3/21)= 0.14.
  • حساب طول الضلع (أ) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (أ/14)=0.14، ومنه أ=2 سم.

• المثال الثاني: إذا كان المثلث أب ج مثلث قائم الزاوية في ج، وكانت د نقطة على الوتر أب، وكان ج د يُعامد أب، وقياس الزاوية دأج=°65، فما هو قياس كلّ من الزاويا: أج د، أب ج؟
  • الحل:
  • مجموع زوايا المثلث ∆أج د=180، ومنه ∠أد ج+∠دأج+∠أج د=180، 90+65+∠أج د=180، ومنه ∠أج د=°25.
  • بما أن أج يُعامد أج فإن الزاوية أج ب=90 درجة، وهي تساوي ∠ب ج د+∠أج د، ومنه: ∠ب ج د+∠25=90، ومنه ∠ب ج د=°65.
  • مجموع زوايا المثلث ∆ب دج=180، ومنه ∠ج ب د+∠ب دج+∠ ب ج د=180، ∠ج ب د+90+65=180، ومنه ∠ج ب د=°25، والزاويتان ∠أب ج=∠ج ب د=°25.

• المثال الثالث: مثلثان أطوال أضلاع الأول هي: 5، 11، 12 سم، وأطوال أضلاع الثاني هي: 4، 3، 5 سم، هل هما مثلثان قائما الزاوية؟
  • الحل:
  • تعويض قيمة أطوال أضلاع المثلث الأول في معادلة فيثاغورس: أ²+ ب²= ج²، ومنه: (5)²+(11)² هل يساوي (12)²، ثم حساب قيمة الطرف الأيمن: 25+ 122= 147، وحساب قيمة الطرف الأيسر: وهو (12)²=144، وعليه 147≠144 وبما أنّ طرفي المعادلة غير متساويين فبالتالي المثلث الأول ليس قائم الزاوية.
  • تعويض قيمة أطوال أضلاع المثلث الثاني في معادلة فيثاغورس: أ²+ ب²= ج²، (4)²+(3)² هل يساوي (5)²، ثم حساب قيمة الطرف الأيمن: 16+ 9= 25، وحساب قيمة الطرف الأيسر: وهو (5)²=25، وعليه 25=25 وبما أنّ طرفي المعادلة متساويان فبالتالي المثلث الثاني قائم الزاوية.

• المثال الرابع: مثلث طول قاعدته 4 سم، وارتفاعه 10 سم، ما هي مساحته؟
  • الحل:
  • التعويض في قانون مساحة المثلث، م=½×القاعدة×الارتفاع، ومنه مساحة المثلث= ½×4×10، ومنه المساحة=20 سم².

• المثال الخامس: مثل أطوال أضلاعه: 5، 6، 7 وحدة طول، ما هي مساحته؟
  • الحل: باستخدام صيغة هيرون ينتج أن:
  • حساب قيمة نصف المحيط بالتعويض في قانون نصف محيط المثلث: س=½×(أ+ب+ج)، س=½×(5+6+7)، ومنه س=9.
  • التعويض في صيغة هيرون لإيجاد مساحة المثلث: مساحة المثلث=(س×(س-أ)×(س-ب)×(س-ج))√، ومنه مساحة المثلث= (9×(9-5)×(9-6)×(9-7))√، ومنه ∆=14.7 وحدة².

• المثال الخامس: مثلث طول قاعدته 12 سم، ومساحته 42 سم²، ما هو ارتفاعه؟
  • الحل:
  • بالتعويض في قانون مساحة المثلث ينتج أن: مساحة المثلث= ½×القاعدة×الارتفاع، ومنه: 42=½×12×الارتفاع، ومنه الارتفاع=7 سم.

• المثال السادس: مثلث متساوي الساقين، طول أحد ساقيه 6 سم، وقياس زاوية الرأس هو °36.4، ما هو قياس زوايتي القاعدة؟
  • الحل:
  • بما أن المثلث متساوي الساقين فزوايا القاعدة متساوية القياس، وعلى فرض أن قياس إحدى زوايا القاعدة هو س، ومجموع زوايا المثلث =180، فإن: 2س+36.4=180، ومن س=(180-36.4)÷2=° 71.8.

• المثال السابع: مثلث قائم الزاوية، ارتفاعه 0.3 م، وطول قاعدته 1م، ما هو طول وتره، وما هي مساحته؟
  • الحل:
  • تعويض قيمة أطوال الأضلاع في معادلة فيثاغورس: أ²+ ب²= ج²، لينتج أن: (0.3)²+(1)²= ج²، ومنه ج=1.044م.
  • التعويض في قانون مساحة المثلث: مساحة المثلث=½×طول القاعدة×الارتفاع، ومنه مساحة المثلث=½×1×0.3، ومنه م=0.15 م².

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المثلث قائم الزاوية يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة المثلث قائم الزاوية.

• المثال الثامن: مثلث متساوي الساقين، قياس زاوية الرأس هو °100، ما هو قياس زوايتي القاعدة؟
  • الحل:
  • بما أن المثلث متساوي الساقين فزوايا القاعدة متساوية القياس، وعلى فرض أن قياس إحدى زوايا القاعدة هو س، ومجموع زوايا المثلث =180، فإن 2س+100=180، ومنه: س=(180-100)÷2=° 40، وهو قياس زاويتي القاعدة.

• المثال التاسع: مثلثان متشابهان أطوال أضلاع الأول هي: 52.3، س، 23.5 سم، وأطوال أضلاع المثلث الثاني هي: ص، 8.6، 7.3 سم، ما هي أطوال الأضلاع المجهولة للمثلثين؟
  • الحل:
  • بما أن المثلثين متشابهين فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (23.5/7.3)= 3.22.
  • حساب طول الضلع (ص) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (52.3/ص)= 3.22، ومنه ص=16.2 سم.
  • حساب طول الضلع (س) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (س/8.6)= 3.22، ومنه س=27.7سم.

• المثال العاشر: مثلث طول ضلعيه هو: ج=7 سم، ب=8 سم، وقياس الزاوية المقابلة للضلع أ (∠أَ)=°33، ما هو طول الضلع(أ)، وقياس باقي الزوايا؟
  • الحل:
  • حساب طول الضلع الثالث من خلال التعويض في قانون جيب التمام: أ²=ب²+ج²-2×ب×ج×جتا(أَ)، ومنه: أ²=(8)²+(7)²-2×8×7×جتا(33)، ومنه أ=4.37 سم.
  • حسب الزاويا المتبقية عن طريق التعويض في قانون الجيب:
    • أ÷جا(أَ)=ب÷جا(بَ)، وذلك لحساب قيمة الزاوية المقابلة للضلع ب، 4.37÷جا(33) = 8÷جا(بَ)، ومنه الزاوية بَ=°86.18.
    • أ÷جا(أَ)=ج÷جا(جَ)، وذلك لحساب قيمة الزاوية المقابلة للضلع ج، 4.37÷جا(33)=7÷جا(جَ)، ومنه الزاوية جَ=°60.82.

• المثال الحادي عشر: مثلث متساوي الساقين، طول أحد ساقيه هو 5 سم، وطول نصف القاعدة 4 سم، ما هو محيطه؟
  • الحل:
  • بما أن المثلث متساوي الساقين فإن ضلعيه متساويان ويساوي كل منهما 5سم، أما طول القاعده فيساوي: 2×4=8 سم.
  • تعويض أطوال الأضلاع في قانون محيط المثلث: ح=أ+ب+ج، لينتج أن: محيط المثلث= 5+5+8= 18 سم.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط المثلث متساوي الساقين يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون محيط المثلث متساوي الساقين.

• المثال الثاني عشر: مثلث ∆أب ج قياس زواياه هو ∠أب ج=4س+3، ∠أج ب=2س+6، ∠ب أج=3س، ما هي قيمة س، وما قياس الزاوية ∠ب أج؟
  • الحل:
  • مجموع زوايا المثلث ∆أب ج=180، وعليه: ∠أب ج+∠أج ب+∠ب أج=180، ومنه (4س+3)+( 2س+6)+( 3س)=180، 9س+9=180، وبحل المعادلة ينتج أن قيمة س=19.
  • تعويض قيمة س في ∠ب أج=3س، ومنه ∠ب أج=3×19، بالتالي قياس ∠ب أج= 57 درجة.

• المثال الثالث عشر: إذا كان قياس زاوية القاعدة لمثلث متساوي الساقين أكثر بـ 10 مرات من ضعفي زاوية الرأس، ما هو قياس زاوية الرأس؟
  • الحل:
  • فرض أن قياس زاوية الرأس=س، وبالتالي ينتج أن قياس زاوية القاعدة=2س+10.
  • مجموع زوايا المثلث=180، ومنه زاوية الرأس+ زاوية القاعدة+ زاوية القاعدة=180؛ لأن زوايا القاعدة متساوية في المثلث متساوي الساقين، وعليه: س+(2س+10)+ (2س+10)=180، ومنه 5س=180-20، بالتالي ينتج أن قياس زاوية الرأس س=32 درجة.

• المثال الرابع عشر: تبعُد طائرة مسافة 8 ميلاً غرباً، و 15 ميلاً جنوباً عن وجهتها، ما هي المسافة التي تبعدها الطائرة عن وجهتها؟
  • الحل:
  • تًشكّل المسافات التي تبعدها الطائرة عن وجهتها مثلثاً قائم الزاوية، وللوصول إلى وجهتها فإن المسافة المستقيمة التي يجب على الطائرة قطعها هي وتر هذا المثلث، الذي يشكّل فيه الضلع الأول بعد الطائرة عن الوجهة من الجهة الغربية، أما الضلع الثاني فهو بعد الطائرة عن الوجهة من الجهة الجنوبية، وبالتالي يُمكن التعويض في معادلة فيثاغورس: أ²+ ب²= ج²، لينتج أن طول الوتر (ج) هو: (8)²+(15)²= ج²، ومنه ج=17 ميل، وهو بعد الطائرة عن وجهتها المقصودة.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول نظرية فيثاغورس يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون نظرية فيثاغورس.