كتب trigonometry
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
حل المثلثات (معلومة)
حل المثلثات (بالإنجليزية: Solution of triangles) هي المسألة المثلثية الرئيسية في إيجاد خصائص مثلث (الزوايا وأطوال الأضلاع)، عندما يكون بعضها معروفًا. يمكن وضع المثلث على المستوي أو على الكرة. وتشمل التطبيقات التي تتطلب حل المثلثات الجيوديسيا وعلم الفلك والبناء والملاحة.
حل المثلثات المستوية
مثلث الشكل العام له ست مميزات رئيسية (انظر الصورة): أطوال الأضلاع a ، و b ، و c وثلاثة زوايا (α ، β ، γ). تتمثل معضلة حساب المثلثات الكلاسيكي في تحديد ثلاث من الخصائص الست وتحديد الثلاث الأخرى. يمكن تحديد المثلث بصورة فريدة بهذا المعنى عند إعطاء أي مما يلي:
إذا رغب المرء في قياس المسافة d من ضفة البحر إلى سفينة بعيدة عن طريق التثليث، تُعَلَّم على ضفة البحر نقطتين بمسافة معلومة l بينهما (خط الأساس). لتكن α، وβ زوايا بين خط الأساس والاتجاه إلى السفينة.
من الصيغ أعلاه (حالة ASA، بافتراض الهندسة المستوية) يمكن للمرء حساب المسافة كارتفاع المثلث:
بالنسبة لحالة المثلث الكروي، يمكن للمرء أولاً حساب طول القوس من النقطة عند α إلى السفينة (أي القوس المقابل لـ β) باستخدام صيغة ASA:
وإدراج هذا في صيغة AAS للمثلث الفرعي الذي يحتوي على الزاوية α والقوسين b و d:
تستخدم هذه الطريقة في الملاحة الساحلية. تحدد الزوايا α، و β بملاحظة المعالم المألوفة من السفينة.
مثال آخر في التثليث، إذا أراد المرء قياس ارتفاع h لجبل أو مبنى مرتفع، تحدد الزوايا α، و β من نقطتين أرضيتين إلى الأعلى. لتكن ℓ مسافة بين هذه النقاط. من نفس صيغ حالة ASA، نتحصل على:
المسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية
لحساب المسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية،
- النقطة A: خط العرض λA، خط الطول LA ،
- والنقطة B: خط العرض λB، خط الطول LB
نعتبر المثلث الكروي ABC، حيث C هو القطب الشمالي. بعض الخصائص هي:
إذا أعطيت قوسين وزاوية محصورة (حالة المثلث الكروي SAS)، نحصل من تلك الصيغ:
هنا، R هو نصف قطر الأرض.
والسبب في هذا التغيير عن صيغة قانون جيب التمام لحساب المثلثات الكروية هو أنَّ جيب الزاوية = جيب تمام ( 90 - نفس الزاوية ) والعكس صحيح ؛
والقانون السَّابِق يخصُّ نظام راديان أمَّا في حالة استخدام نظام الدرجات فيكون بدلًا مِن الضرب في المقدار R فقط، الضرب في قِيمَة الدَّرجة القوسية فيكون بالصُّورة التَّالية :
