كتب relationships and functions
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
علاقات ودوالّ (معلومة)
علاقات
العلاقات هي موضوع مهم ورائج في الرياضيات، وتشكل اداة مهمة في دراسة المجموعات وعناصرها.
وبشكل دقيق: علاقة- R من مجموعة- A إلى مجموعة- B هي مجموعة جزئية للجداء الديكارتي , وإذا كان فنرمز . وفي حال ان فنقول باختصار ان العلاقة هي على المجموعة A.
مثال: العلاقة > ("اصغر" المعهودة من الاعداد الحقيقية - من اليسار إلى اليمين: مثلا ) على المجموعة هي , كما ان العلاقة على نفس المجموعة هي , بينما العلاقة < على نفس المجموعة هي .
هنالك انواع مميزة من العلاقات، سنذكر بعضا منها ادناه:
لتكن- R علاقة على مجموعة معينة- A. إذاً فنقول ان R هي:
- علاقة انعكاسية: إذا تحقق ان ؛
- علاقة تماثلية: إذا تحقق ان ؛
- علاقة متعدّية: إذا تحقق ان ؛
- علاقة تكافؤ: إذا تحقق ان R هي علاقة انعكاسية، تماثلية ومتعدية معاً.
- علاقة مضادة للانعكاس: إذا تحقق ان ؛
- علاقةُ ترتيب جزئيّ: إذا تحقق ان R هي علاقة مضادة للانعكاس وانها متعدية معاً.
- علاقةُ ترتيب كامل: إذا تحقق ان R هي علاقة ترتيب جزئي وان كل عنصرين في A قابلان للمقارنة مع بعضهما البعض، اي .
دوالّ
دالة من مجموعة إلى مجموعة هي امر افتراضي يناسب لكل عضو في عضواً واحداً ووحيدأ من .
ولكن علينا تعريف الدالة بشكل رياضي دقيق، وهذا يقتضي ان نعرّف كلمة "يناسب" اعلاه. سنفعل هذا بمساعدة مفهموم "العلاقة" بالشكل الاتي: دالة من المجموعة إلى المجموعة هي علاقة احاديةُ القيمة من المجموعة إلى المجموعة , حيث ان المقصود باحادية القيمة هو ان لكل عضو في يوجد عضو واحد ووحيد من يحقق , اي
وايضاً .
إذا كانت دالةً من المجموعة إلى المجموعة , فنكتب , ويُصطلَح عادة تسمية المجموعة بمجال وتسمية المجموعة بمدى , وعناصر بالمصادر وعناصر الذين لديهم مصادر بالصور.
إذا كان صورةَ تحت الدالة , اي , فغالبا ما يُشار إلى ذلك بالشكل التالي: .
في حال كان مفهموما ضمنا من هي الدالة التي نتحدث عنها فقد نسقط اسمها، مثلا بدل القول "مجال الدالة " نكتفي بالقول "المجال", وهكذا.
- دالة 1-1( واحد إلى واحد): نقول ان دالة هي 1-1 إذا تحقق ان لكل عنصر من يوجد على الأكثر مصدر واحد.
- دالة غمر(على): نقول ان دالة هي غمر إذا تحقق ان لكل عنصر من يوجد على الأقل مصدر واحد.
لدالة ال 1-1 والعلى اهمية كبيرة في علم المجموعات، وهي تُدعى احيانا تكافؤاً بين مجموعتي المجال والمدى.
