كتب prime number theorem
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
مبرهنة الأعداد الأولية (معلومة)
في نظرية الأعداد, مبرهنة الأعداد الأولية هي نتيجة تهم كثافة توزيع الأعداد الأولية.
نص المبرهنة
نعرف لكل عدد حقيقي موجب x، π(x) الدالةَ المعدةَ للأعداد الأولية الأصغر من x. مبرهنة الأعداد الأولية هي كالآتي :
حيث (ln(x هو اللوغارتم الطبيعي ل x ; بالنسبة ل , انظر مفهوم لاندو.
تاريخ البرهان
حدس عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجاندر في عام 1797 أو 1798 أن π(a) تقترب من الدالة a / (A log a + B) حيث A و B ثابتات غير محددة. اعتمد في ذلك على لوائح أقامهن العالمان أنتون فيلكل ويوري فيغا. في الطبعة الثانية لكتابه حول نظرية الأعداد نشرت عام 1808، أعطى ليجاندر حدسية أكثر دقة حيث A = 1 و B = −1.08366.
نشر عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف بين عام 1848 و1850 مقالين، حاول فيهما البرهان على هذه الحدسية. يُذكر عمله هذا نظرا لاحتوائه على دالة ζ(s) مطبقةً على أعداد حقيقية، مقتديا في ذلك بأعمالٍ لليونهارد أويلر قام بهن في عام 1737.
لم يستطع تشيبيشيف البرهان على هذه الحدسية بشكل كامل، ولكنه برهن على شكل ضعيف منها، هو إنه إذا كانت ل π(x) / (x / log(x)) نهاية عندما يذهب x إلى ما لا نهاية له، فإن هذاه النهاية تساوي حتما واحدا.
رغم أن تشيبيشيف لم يستطع البرهان على مبرهنة الأعداد الأولية، إلا أن أعماله كانت كافية من أجل البرهان على مسلمة بيرتراند والتي تنص على أنه يوجد على الأقل عدد أولي واحد بين عدد ما وضعفه كلما كان هذا العدد أكبر من اثنين.
جاء بالبرهان بشكل نهائي كل من العالمين الفرنسي جاك هادامار والبلجيكي شارل جون دي لا فالي بوسان، ممددين بذلك أفكارا أبدعهن عالم الرياضيات الألماني ريمان.
لائحة قيم (π(x و (x/ln(x و (li(x
انظر الجدول :
احسن نتيجة تقريبية، هي تحسين للخطأ، معطاة بالصيغة التالية :
لقيم كبيرة ل x (Li هي دالة التكامل اللوغاريتمي).
مبرهنة الأعداد الأولية تعطي معلومات حول توزيعية nرتبة عدد أولي
p(n)
كما يمكن استنتاج ان الاحتمال ليكون عدد طبيعي n عشوائي عدد أولي هو 1/ln(n).
حدست مبرهنة الأعداد الأولية بواسطة عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس عام 1792 وكان عمره 15 سنة وبواسطة أدريان ماري ليجاندر عام 1798. وتمت البرهنة عليها بواسطة جاك هادامار وشارل-جون عام 1896.
البرهنة تستعين بطرق التحليل العقدي, وبخاصة دالة زيتا.
بسبب العلاقة الموجودة بين دالة زيتا وπ(x), فرضية ريمان ذات اعتبار مهم مبرهنة الأعداد : إذا تم البرهنة عليها، ستعطي احسن تنبؤ بنسبة الخطأ الناتجة عن مبرهنة الأعداد الأولية
هلغ فون كوخ في 1901 بين، بكيفية أدق، إذا كانت فرضية ريمان صحيحة، نسبة الخطأ تتحسن بالصيغة التالية :
