كتب perimeter of the triangle

قانون حساب محيط المثلث

يمكن تعريف المحيط (بالإنجليزية: Perimeter) بأنه الطول الكلي لحدود الشكل الهندسي التي تُحيط به من الخارج، ويُقاس المحيط بعدد من الوحدات الطولية مثل المتر (م)، والسنتيمتر (سم)، والمليمتر (مم)، ومحيط أي مثلث يُساوي مجموع أطوال أضلاعه، وبالتالي فإن:

• محيط المثلث متساوي الأضلاع = 3×أ، حيث أ: طول أحد اضلاع المُثلث.
• محيط المثلث متساوي الساقين = 2×أ+ب، حيث أ: طول أحد الضلعين المُتساويين، وب: طول قاعدة المثلث.
• محيط المثلث مختلف الاضلاع = أ+ب+ج، حيث أ، وب، وجـ هي أطوال الأضلاع الثلاث للمثلث.
• محيط المثلث القائم = أ+ب+جـ = أ+ب+(أ²+ب²)√؛ حيث:
  • أ، وب: هما ضلعا القائمة، ويمثلان ارتفاع المثلث القائم، وطول قاعدته.
  • جـ: طول الوتر.

تم الحصول على القانون السابق باستخدام نظرية فيثاغورس التي يمكن الاستعانة بها لإيجاد محيط المثلث القائم في الحالات التي لا يكون فيها أحد أضلاعه معروفاً، وذلك كما يلي:

تنص نظرية فيثاغورس على أن مجموع مربعي طولي ضلعي الزاوية القائمة مساوٍ لمربع طول الوتر، أي: جـ² = أ² + ب²، وبالتالي فإن الوتر (جـ) = (أ²+ب²)√، وبالتعويض في قانون محيط المثلث القائم فإن المحيط = أ+ب+(أ²+ب²)√.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط المثلث يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون محيط المثلث، كيفية حساب محيط المثلث القائم، قانون محيط المثلث متساوي الساقين

أمثلة على حساب محيط المثلث

• المثال الأول: حديقة مثلثة الشكل أطول أضلاعها 90م، و70م، و40م، يراد إحاطتها بسياج، فما هو طول السياج الذي يلزم لإحاطتها؟
  • الحل: طول السياج = محيط المثلث، وبالتالي محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه = 90+70+40= 200م.

• المثال الثاني: ما هو محيط المثلث الذي أطوال أضلاعه الثلاثة 5سم، و4سم، و2سم؟
  • الحل: محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه= 5+4+2= 11سم.

• المثال الثالث: ما هو محيط المثلث متساوي الأضلاع الذي طول أحد أضلاعه الثلاثة (أ) 10سم؟
  • الحل: محيط المثلث متساوي الأضلاع = 3×أ= 3×10= 30 سم.

• المثال الرابع: إذا كان محيط المثلث متساوي الساقين 40سم، وطول أحد الضلعين المتساويين (أ) يساوي 10سم، فما هو طول قاعدة المثلث متساوي الساقين (ب)؟
  • الحل: محيط المثلث متساوي الساقين= 2×أ+ب، وبالتعويض في هذا القانون فإن:
  • 40= 2×10+ب، 40= 20+ب، ب= 20سم، وهو طول قاعدة المثلث.

• المثال الخامس: ما هو محيط المثلث القائم الذي ارتفاعه (أ) يساوي 4سم، وطول قاعدته (ب) يساوي 3سم؟
  • محيط المثلث القائم = مجموع أطوال أضلاعه
  • لإيجاد محيط المثلث فإنه يجب إيجاد الوتر (جـ) أولاً، وذلك كما يلي:
    • جـ² = أ²+ب²= 3²+4²= 25، ومنه: جـ = 25√= 5سم.
  • بعد إيجاد طول الوتر يمكن إيجاد محيط المثلث القائم كما يلي:
    • محيط المثلث القائم = 4+3+5= 12سم.
  • يمكن كذلك حساب المحيط مباشرة بالتعويض في القانون: محيط المثلث القائم = أ+ب+(أ²+ب²)√ = 3+4+(3²+4²)√= 12سم

• المثال السادس: ما هو محيط المثلث متساوي الأضلاع الذي ارتفاعه (ع) 10سم؟
  • الحل:
  • باستخدام نظرية فيثاغورس فإنه يمكن حساب طول ضلع المثلث (أ)؛ وذلك لأن الارتفاع هو العمود المقام من رأس المثلث متساوي الأضلاع إلى منتصف القاعدة، وبالتالي فإنه يشكّل مثلثاً قائم الزاوية الوتر فيه هو أحد الضلعين المتساويين (أ)، ومنتصف القاعدة (أ/2)، والارتفاع هما ضلعا القائمة، وذلك كما يلي:
    • (طول أحد الضلعين المتساويين)²= (الارتفاع)²+(طول القاعدة/2)²، أ² = 10²+ (أ/2)²، 400+أ² = 4أ²، أ= 11.55 سم، وهو طول ضلع المثلث.
  • بعد إيجاد طول أحد أضلاع المثلث متساوي الأضلاع فإنه يمكن إيجاد محيطه، وذلك كما يلي:
    • محيط المثلث = 3×طول الضلع (أ) = 3 ×11.55 = 34.6 سم تقريباً

• المثال السابع: مثلث قائم الزاوية طول قاعدته 5 وحدات، وقياس الزاوية المحصورة بين الوتر، والقاعدة يساوي 28 درجة، فما هو محيط المثلث؟
  • الحل: لحساب محيط المثلث يجب أولاً إيجاد الارتفاع، والوتر، وذلك لأن محيط المثلث= مجموع أطوال أضلاعه، وذلك كما يلي:
  • إيجاد الارتفاع، وذلك كما يلي:
    • يشكل الارتفاع الضلع المقابل للزاوية 28 درجة، والقاعدة هي الضلع المجاور لها، وعليه: ظا(28) = المقابل/المجاور، ومنه:
    • 0.5317 = الارتفاع/5، ومنه: الارتفاع = 2.66 تقريباً.
  • إيجاد الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس، وذلك كما يلي:
    • الوتر² = الارتفاع ² + طول القاعدة²، ومنه: الوتر= (2.66²+5²)√= 5.67 تقريباً.
  • حساب محيط المثلث، وذلك كما يلي:
    • محيط المثلث = 5+2.66+5.67 = 13.33 وحدة.