كتب other variants of the question

سلوكيات أخرى للمضيف

في بعض النسخ من مسألة مونتي هول، لا يُذكر فيها سلوك المضيف بشكل كامل. فعلى سبيل المثال، النسخة التي نُشرت في مجلة باريد في 1990 لم تذكر تحديداً بأن على المضيف دوماً القيام بفتح الباب الآخر، ولم تذكر بأن المضيف سيعرض الفرصة للتغيير دائماً، حتى أنها لم تذكر بأن المضيف لن يكشف السيارة أبداً. إن لم يتم تحديد هذه القواعد، فأن اللاعب لن يكون بمقدوره الاستنتاج بأن لديه احتمال الثلثين للفوز بالسيارة (Mueser and Granberg, 1999). يعرض الجدول الموجود أدناه سلوكيات المضيف المحتملة وتأثيرها على مقدار الفوز.

لتحديد ما هي أفضل إستراتيجية عندما لا يعرف اللاعب سلوك المضيف في اللعبة هو استخدام إحدى الطرق لحل المسائل المعروفة باسم نظرية الألعاب. فعلى سبيل المثال، قد يفترض اللاعب بأن المضيف شخصاُ ماكر ويكثر في عرض الفرص للتغير إذا وقع اختيار اللاعب المبدئي على السيارة. على العموم، الإجابة على هذا النوع من الأسئلة تعتمد دوماً على افتراضات معينة حول سلوكيات المضيف، قد تتراوح من "تجاهل المضيف تماماً" إلى "أرمي بالعملة وقوم بالتغيير إذا كان الوجه على أعلى".

الأبواب N

اقترح دي. إل. فيرغوسون (1975 في رسالة إلى سيلفين وردت ذكرها في Selvin 1975b) بتعميم عدد الأبواب N في المسألة الأصلية يقوم فيها المضيف بفتح الأبواب الخاسرة ذو العدد p وبعدها يعرض على اللاعب الفرصة للتغيير؛ في هذه النسخة المختلفة من المسألة تكون احتمالية الفوز بالتغيير هي (N-1)/N(N-p-1). حتى إذا فتح المضيف باباً واحداً فمن الأفضل له يأن يقوم بالتغيير، لكن هذه الإجابية ستقارب الصفر كلما أزداد عدد الأبواب N بشكلاً كبير (Granberg 1996:188). وعلى الطرف الآخر، إذا فتح المضيف جميع الأبواب إلا باباً واحداً يؤدي إلى الفوز، فأن فرصة الفوز بالتغيير ستقارب الواحد كلما أزداد عدد الأبواب.

أقترح كلاً من بيبسويرا راو وراو (1992) نسخة مختلفة لمسألة الأبواب ذو العدد N حيث يفتح فيه المضيف باباً خاسراً مختلف عن الذي اختاره اللاعب وسيعطي للاعب الفرصة للتغير بعد كل باباً يفتحه حتى يتبقى في النهاية بابين فقط. بوجود أربعة أبواب فقط تكون الإستراتيجية المثلى هي الاختيار مرة واحدة والقيام بالتغيير فقط عندما يتبقى بابين. بوجود الأبواب N تكون احتمالية الفوز بهذه الإستراتيجية هي (N-1)/N كما تم الإثبات رياضياتياً بأن هذه الإستراتيجية هي الإستراتيجية المثلى.

يبدو أن هذه المسألة تشابه لحد كبير طريقة برنامج العروض صفقة أو لا صفقة؛ على أية حال، مع كل اختيار يقوم به لاعب في برناكد Deal or No Deal تكون احتمالية الفوز بالجائز متساوية لإحتمالية الخسارة. مونتي، من جهة أخرى، يعرف المحتويات ويُمنع منعاً باتاً من من أن يكشف عن الخيار الفائز. وبافتراض أن الجائزة الكبرى لا تزال متروكة في الصندوقين المتبقيين، سيكون لدى اللاعب في Deal or No Deal فرصة مقدارها 50/50 لاختيار الصندوق الذي توجد تحته الجائزة الكبرى.

النسخة الكمومية

إن النسخة الكمومية لهذه المفارقة قد قامت بتوضيح بعض النقاط حول العلاقة بين المعلومات الكلاسيكية أو اللا-كمومية والمعلومات الكمومية (بالإنجليزية: Quantum information)‏، كما تم تكويدها في حالات الأنظمة الميكانيكية الكمومية. تعتمد صياغة هذه المسألة بشكلاً مطلق على نظرية الألعاب الكمومية (بالإنجليزية: Quantum game theory)‏. تم فيها تبديل الثلاثة أبواب بأنظمة كمومية يسمح بوجود ثلاثة بدائل؛ ترجمت فيها فتح الباب والنظر على ما وراءه كالقيام بعملية الملاحظة من المراقب. يمكننا ذكر قواعد اللعبة بهذه الطريقة، لمرة أخرى يكون للاعب الاختيار في أن يبقى على اختياره المبدئي، أو أن يقوم بالتغيير إلى خيار "متعامد" آخر. نجد أيضاً أن الطريقة الثانية-أي التغيير- تؤدي إلى مضاعفة فرص الفوز مرتين، تماماً كما هو موجود في الحالة الكلاسيكية. على أية حال، إذا لم يقم مضيف العرض بتوزيع أماكن الجوائز عشوائياً على الطريقة الميكانيكية الكمومية التامة، فأنه يمكن للاعب القيام بعمل أفضل، حتى أن بإمكانه تحديد مكان الجائزة بكل ثقة (Flitney and Abbott 2002, D"Ariano et al. 2002).