كتب modular arithmetic
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
الحساب النمطي (معلومة)
في الحساب النمطي، يُجمَع عددان صحيحان ثم يُقسَم الناتج على عدد صحيح موجب يسمى القيمة النمطية (modulus). ويكون ناتج الجمع النمطي هو باقي تلك القسمة. لأي قيمة نمطية ، تشكل مجموعة الأعداد الصحيحة من الصفر حتى زمرةً تحت الجمع النمطي؛ حيث يكون معاكس أي عنصر هو ، والعنصر المحايد هنا هو الصفر. ومن المألوف من جمع الساعات في ساعة بنظام 12 ساعة، أنه إذا كان عقرب الساعات على 9 ثم تقدم 4 ساعات، سيصبح على الساعة 1 كما هو موضح على اليسار. ويعبَّر عن ذلك بقول أن 9 + 4 يساوي 1 مقياس 12 أو بتردد 12، أو بالرموز
ويُرمَز لزمرة الأعداد الصحيحة مقياس بأحد الرمزين أو .
توجد أيضًا زمرة ضربية للأعداد الصحيحة مقياس p {displaystyle {color {Blue}p}} لأي عدد أولي . وعناصر تلك الزمرة هي الأعداد الصحيحة من إلى . وعمليتها هي الضرب مقياس ، أي أن حاصل الضرب العادي يُقسَم على ، ويكون باقي تلك القسمة هو ناتج الضرب النمطي. فمثلًا إذا كان ، سيوجَد في الزمرة أربعة عناصر هي 1، 2، 3، 4. وفي هذه الزمرة يكون ، لأن حاصل الضرب العادي هو 16 وهو يكافئ 1، وهو باقي قسمة هذا العدد على 5، فالعدد 5 هو قاسم لـ ، ويُرمَز لما سبق بالآتي
وتكفل أولية العدد أنه إذا ضُرِب عددان صحيحان لا يقبلان القسمة على ، لن يقبل حاصل الضرب القسمة على أيضًا، وبالتالي فإن مجموعة الأصناف المُشار إليها مغلَقة تحت الضرب. والعنصر المحايد هو 1 كما هو معتاد لأي زمرة ضربية، وتنتج التجميعية عن الخاصية المناظرة في الأعداد الصحيحة. وأخيرًا تتطلب بديهية العنصر المعاكس أنه بإعطاء العدد الصحيح الذي لا يقبل القسمة على ، يوجد عدد صحيح بحيث يكون
- ، أي أن تقسم الفرق .
ويمكن إيجاد المعاكس باستخدام متطابقة بوزو وحقيقة أن القاسم المشترك الأكبر يساوي 1. وفي حالة أعلاه، يكون معاكس 4 هو 4، ومعاكس 3 هو 2؛ لأن . وبالتالي فإن كل بديهيات الزمر محقَّقة. إن هذا المثال في الواقع مشابه لمثال أعلاه؛ فهو يتكون بالضبط من تلك العناصر في التي تملك معاكسًا ضربيًّا. يُرمَز لتلك الزمر بالرمز . وهي بالغة الأهمية في التشفير باستخدام المفتاح المعلن.
