كتب mathematical extrapolation
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
استقراء رياضي (معلومة)
الاستقراء الرياضي (بالإنجليزية: Mathematical induction) هو أحد أنواع البرهان الرياضي تستخدم عادة لبرهنة أنّ معادلة أو متباينة ما صحيحة لمجموعة لانهائية من الأعداد، كالأعداد الصحيحة. يعتمد البرهان على مبدأ وقوع أحجار الدومينو، ويتم على مرحلتين: في الأولى، يبرهن أنّ أوّل رقم في المجموعة يحقّق المطلوب، وفي الثانية نفرض أنّ المطلوب يتحقّق لعدد ما من المجموعة، ونبرهن، جبريًا، مثلاً، أنّه يتحقّق أيضًا للعدد الذي يليه في المجموعة استنادًا على الفرض وعلى الأساس.
يذكر، لمنع حصول التلابسات، أنّ الاستقراء الرياضي يختلف عن الاستنتاج الاستقرائي - فالأخير لا يعتبر برهانًا كافيًا ودقيقًا في عالم الرياضيات. الأصح هو القول أنّ الاستقراء الرياضي هو ضرب من الاستنتاج الاستدلالي (deductive reasoning).
تاريخ
ربما كانت محاورة أفلاطون سنة 370 قبل الميلاد قد حوت أول إثبات بالاستقراء الرياضي على الإطلاق. يمكن ملاحظة اثارالاستقراء الرياضي المبكرة في إثبات إقليدس بأن عدد الأعداد الأولية لانهائي. كما أن أول إثبات ضمني بالاستقراء الرياضي للمتوالية الحسابية كان على يد العربي البغدادي الكرخي حوالي سنة 1000 ميلادية، والذي استخدمها لإثبات نظرية ذات الحدين، مثلث باسكال، وصيغة المجموع لتكامل المكعبات. كان إثباته هو الأول الذي استخدم المبدأين الأساسيين في الإثبات الاستقرائي, "وهما صواب التعبير من أجل n = 1 (لاحظ أن 1=13) واشتقاق الصواب من أجل n = k من تلك لقيمة n = k − 1. بالطبع الجزء الثاني غير نقدي لأنه بشكل أو باخر حجة الكراجي معكوسة; من هنا يبدأ الكراكي لـn = 10 ومن ثم النزول حتى 1 بدلا من الاستمرار". ومن بعده مباشرة جاء الحسن ابن الهيثم لإثبات مجموع قوى الدرجة الرابعة بطريقة الاستقراء. لقد قام بإثبات ذلك على أعداد صحيحة معينه فقط ولكن إثباته لهذه الأعداد كان بالاستقراء وشاملا. كما أن السموأل بن يحيى بن عباس كان أقرب إلى الإثبات الحديث بالاستقراء الرياضي عندما استخدمه في توسيع إثبات مثلث باسكال وذات الحدين.
الوصف
الشكل العام والأبسط في الاستقراء الرياضي يثبت أن التعبير المتمثل في عدد طبيعي n يبقى صحيحا لجميع قيم n. يتألف الإثبات من خطوتين:
