كتب mathematical examples of a mixed electrical circuit

المثال الأول

دارة كهربائية تحتوي على أربع مقاومات م₁=5 Ω ،م₂=8 Ω ،م₃=8 Ω ،م₄=6 Ω ومصدر جهد قيمته 60 فولت، فإذا كانت المقاومتان م₂ ،م₃ متصلتين على التوازي، والمقاومتان م₁،م₄ متصلتين على التوالي، فالمطلوب حساب قيمة التيار المار في كل مقاومة وفرق جهدها.

الحل:

• حساب المقاومة المكافئة لحالة التوازي لتصبح موصولة على التوالي مع المقاومتين م₁، م₄، 1÷م _ك= 1÷م₁ + 1÷م₂، 1÷م _ك= 8÷1 + 8÷1، 1÷م _ك = 8÷2، 1÷م _ك= 4÷1، م _ك23= 4 Ω
• حساب المقاومة المكافئة لحالة التوالي: م _ك=م _ك23+م₁+م₄، م _ك=4+5+6، م _ك=15 Ω
• حساب التيار الكلي المار في الدارة: ت _ك= ج÷م _ك، ت _ك= 60÷15، ت _ك= 4 أمبير.
• المقاومات الموصولة على التوالي لها نفس قيمة التيار الكلي: ت _ك= ت₁= ت ₄= ت₂₃، ولأنّ المقاومتين م₂،م₃ موصولتان على التوازي فالتيار الخارج منهما يجب أن يُساوي قيمة التيار الكلي الذي قيمته 4 أمبير، ولأنّ للمقاومتين لهما نفس القيمة فينقسم التيار بينهما بالتساوي، وعليه فإنّ التيار المار في كل منهما يساوي: ت ₂= ت₃= 2 أمبير.
• جميع التيارات المارة في المقاومات معلومة، ومن خلال قانون أوم فإنّ فرق الجهد لكل مقاومة يساوي: ج₁= ت₁ × م₁، ج₁= 4 × 5، ج₁= 20 فولت، ج₂= ت₂ × م₂، ج₂= 2 × 8، ج₂= 16 فولت، ج₃= ت₃ ×م₃، ج₃= 2 × 8، ج₃= 16 فولت، ج₄= ت₄ × م₄، ج₄= 4 × 6، ج₄= 24 فولت، ومجموع فروق الجهد يساوي فرق جهد البطارية.

المثال الثاني

دارة كهربائية تحتوي على أربع مقاومات م₁=5 Ω، م₂=4 Ω ،م₃=12 Ω ،م₄=8 Ω ومصدر جهد قيمته 24 فولت، فإذا كانت المقاومتان م₂،م₃ متصلتين على التوازي، والمقاومتان م₁،م₄ متصلتين على التوالي، فالمطلوب هو حساب قيمة التيار المار في كل مقاومة وفرق جهدها.

الحل:

• حساب المقاومة المكافئة لحالة التوازي لتصبح موصولة على التوالي مع المقاومتين م₂ ،م₃: م _ك23= 1÷12 + 1÷4= م _ك23= 3 Ω
• حساب المقاومات الكلية للدارة: م _ك= م _ك23 + م₁ + م₄= 16 Ω.
• حساب التيار الكلي المار في الدارة: ت _ك= ج÷ ك _ك، ت _ك= 24÷16، ت _ك= 1.5 أمبير.
• المقاومات الموصولة على التوالي لها نفس قيمة التيار الكلي: ت _ك= ت₁= ت₄= ت₂₃= 1.5 أمبير.
• أما بالنسبة للمقاومات الموصولة على التوازي فإن هذا المثال يختلف عن المثال السابق؛ لأنّ المقاومتين الموصولتين على التوازي مختلفتان في القيمة، إلا أن قيمة التيار الخارج منهما تُساوي قيمة التيار الكلي وهي: 1.5 أمبير، الأمر الذي يتطلب إيجاد قيمة فرق الجهد بين طرفي المقاومتين باستخدام قانون أوم، لإيجاد قيمة التيار المار بهما، ولحساب ذلك فإنّ مجموع فرق الجهد الواصل للمقاومتين م₁ ،م₄ بالإضافة إلى فرق الجهد الواصل للمقاومتين م₂،م₃ يساوي فرق الجهد للبطارية، وعليه: ج₁= ت₁ × م₁، ج₁= 7.5 فولت، ج₄= ت₄ × م₄، ج₄=12 فولت، ج₂=ج₃= ج _{البطارية} − (ج₁ + ج₄) = 24 − 19.5، ومنه ج₂ = ج₃= فولت 4.5، ومنه فإنَّ التيار المار بهما يساوي: ت₂= ج₂÷م₂، ت₂=1.125 أمبير، ت₃= ج₃÷م₃، ت₃= 0.375 أمبير.

المثال الثالث

دارة كهربائية تضم ثلاث مقاومات م₁=1 Ω ،م₂=6 Ω ،م₃=13 Ω، وبطارية فرق جهدها يساوي 12 فولت، وكانت المقاومتان م₂ ،م₃ متصلتين على التوازي فيها، احسب المقاومة المكافئة للدارة الكهربائية، وفرق الجهد للمقاومة م₁، والتيار المار بالمقاومة م₂.

الحل:

• حساب المقاومة المكافئة لحالة التوازي، لتصبح موصولة على التوالي مع المقاومة م₁، م _ك23= 4.1 Ω.
• المقاومة المكافئة للدارة تساوي: م _ك= م₁ + م _ك23، م _ك= 5.1 Ω.
• التيار للمقاومة م₁ يساوي: ت _ك= ج/م _ك، ت _ك= 2.35 أمبير، ت _ك= ت₁= ت₂₃.
• قيمة فرق الجهد الواصل للمقاومة م₁ تساوي: ج₁= ت₁ × م₁، ج₁= 2.35 فولت.
• لإيجاد قيمة الجهد الواصل للمقاوتين في حالة التوازي: ج ₂₃= ج _{البطارية} − ج₁، ج₂₃=12 − 2.35، ج₂₃= 9.65 فولت، ج₂= ج₃= 9.65 فولت، ومنه فإنَّ التيار المار بالمقاومة م ₂ يساوي: ت₂= ج₂÷م₂، ت₂= 9.65÷6، ت₂= 1.61 أمبير.