كتب mathematical derivation
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
الاشتقاق الرياضي (معلومة)
يمكن اشتقاق قيمة هذا الحد رياضيًا عن طريق مساواة مقدار قوة الضغط الإشعاعية المندفعة إلى الخارج، بمقدار قوة الجاذبية التي تشد المادة إلى الداخل. وتأثير كلتا القوتين يضمحل تبعًا لقوانين التربيع العكسي، وبالتالي فإن شدة التيار الهيدروديناميكي يختلف على حسب موقعك من النجم، وذلك في حالة الاتزان.
وسوف نبدأ الاشتقاق من معادلة أويلر في حالة الاتزان الهيدروستاتيكي، حيث متوسط التسارع يساوي صفر:
حيث u هي السرعة، و p هو الضغط، و ρهي الكثافة، و Φهي دالة الوضع الخاصة بقوة الجاذبية (Gravitational potential function). وإذا كانت قوة الضغط الطاغية على النظام هي قوة الضغط الإشعاعي، والتي تقترن بفيض إشعاعي يرمز له بـ F_rad ، فإن:
حيث κ هي معامل عتامة المادة التي تتكون منها النجوم، ويعرف هذا المقدار بأنه النسبة بين الجزء الذي يمتصه وسط الانتشار من الطاقة الإشعاعية إلى الطاقة الكلية، لكل وحدة كثافة، ولكل وحدة طول. وفي حالة الهيدروجين المتأين، فإنه يعرف بالمعادلة (k= σ_t/m_p) حيث σ_t هي المساحة المقطعية الخاصة بتشتت تومبسون، و m_p هي كتلة البروتون.
لاحظ أن معدل سريان الطاقة الإشعاعية يساوي:
وهو يعرف بأنه معدل سريان الطاقة لكل وحدة مساحة. ويمكن التعبير عن طاقة الإشعاع بدلالة الزخم (E=pc). وبالتالي يمكن التعبير عن معدل انتقال الزخم الإشعاعي إلى الوسط الغازي المحيط لكل وحدة كثافة بـ( κ/c F_rad). وبالتالي فإن المعادلة السابق ذكرها صحيحة.
ومن هذا المنطلق يمكن التعبير عن سطوع مصدر الإشعاع (L) بالمعادلة الآتية:
وعلى اعتبار أن المقدار κ ثابت، يمكن إخراجه من التكامل. وباستخدام نظرية جاوس (أو ما يعرف أيضًا بنظرية التباعد «divergence theorem»)، ومعادلة بواسون التفاضلية، نحصل على:
حيث M هي كتلة الجسم المركزي (النجم على سبيل المثال). ويعرف هذا المقدار بضياء إدنجتون.
حيث M_⊙ هي كتلة الشمس، و L_⊙ هو مقدار سطوع الشمس.
ويعرف ضياء إدنجتون بأنه القيمة القصوى لمقدار سطوع مصدر إشعاع في حالة اتزان هيدروستاتيكي. وإذا تخطى السطوع حد إدنجتون، فسوف يتسبب الضغط الإشعاعي باندفاع فيض من المادة خارج حيز النجم.
وسبب ظهور كتلة البروتون في هذه المعادلة هو أنه، في طبقات النجوم الخارجية تحت ظروف وعوامل طبيعية، تؤثر قوة الضغط الإشعاعي على الإلكترونات فقط، مما يرغم الإلكترونات على الابتعاد عن مركز النجم. ونظرًا لأن كتلة البروتونات كبيرة جدًا بالمقارنة، فإن تأثير الإشعاع عليها ضئيل ويمكن إهماله، بشكل مشابه تمامًا لتشتت تومبسون. ونتيجة هذا التأثير المتباين هي انفصال الشحنات عن بعضها بشكل طفيف، وذلك بدوره يتسبب في توليد مجال كهربي في اتجاه نصف قطر النجم، وهذا المجال بدوره يتسبب في جذب البروتونات ذات الشحنة الموجبة إلى الخارج. وهي في العادة بروتونات حرة تحت ظروف الغلاف الجوي النجمي المعتاد. وعندما يصبح المجال الكهربي قويًا بما فيه الكفاية لرفع كتلة البروتونات ضد تأثير الجاذبية، يقوم النجم بطرد كلًا من الإلكترونات والبروتونات خارجًا في نفس الوقت.
