كتب in polar coordinates
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
بالإحداثيات القطبية (معلومة)
أحد الطرق القياسية لحساب التكامل الغاوسي هي
- بالنسبة للدالة e−(x2 + y2) = e−r2 في المستوى R2، يمكن حساب تكاملها بطريقتين:
- من جهة، بواسطة التكامل الثنائي في نظام الإحداثيات الكارتيزية يكون التكامل مربعاً::
- أو بطريقة أخرى أخرى بواسطة تكامل القشرة (حالة خاصة من التكامل الثنائي في الإحداثيات القطبية)، يمكن بيان أن التكامل يساوي .
بمقارنة الحسابين السابقين نحصل على التكامل، ولكن ينبغي أخذ الحذر بشأن التكاملات الخاطئة التي يمكن أن تحدث.
إثبات وجيز
بإيجاز، باستعمال الطريقة السابقة، يمكن للمرء من جهة حساب أن،
ومن جهة أخرى
حيث أن معامل r يأتي من الانتقال إلى الإحداثيات القطبية (r dr dθ هي المقياس العياري في المستوى، معبراً عنه بالإحداثيات القطبية)، وبالتعويض نأخذ s = −r2, so ds = −2r dr.
بدمج هذه نحصل على
وعليه
إثبات حريص
للتأكد من التكاملات الثنائية الخاطئة ومساواة التعبيرين، يمكننا البدء بدالة تقريبية:
حتى نعمل التكامل بالعلاقة
بما أن
بأخذ الجذر التربيعي لـ I(a) نحصل على
باستعمال مبرهنة فورييه، ميكن بيان أن التكامل الثنائي السابق يكافئ تكامل مساحة
تم أخذها على مربع ررؤوسه {(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)} في المستوى xy.
لما كانت الدالة الأسية أكبر من 0 لجميع الأعداد الحقيقية، فإننا نستنتج من ذلك أن التكامل المأخوذ على دائرة المربع ينبغي أن يكون أقل من ، وكذلك التكامل المأخوذ على دائرة محيط المربع يجب أن يكون أكبر من . التكاملات على القرصينيمكن حسابها بسهولة وذلك بالانتقال من الإحداثيات الكارتيزية إلى القطبية:
بالتكامل،
من مبرهنة العصر، نحصل على التكامل الغاوسي
