كتب identification of electronic special cases

يمكن كتابة الدالة الموجية للحالات الخاصة الالكترونية على الشكل العام (في تمثيل الموضع) : ، حيث الدالة الموجية "المكانية" و الدالة الموجية للف المغزلي (σ هي "متغير اللف" تشير إلى قيمة اللف على محور معين). الهاميلتوني (3) لا يؤثر على متغير لف الإلكترون، إذن الحالات الخاصة الإلكترونية يتم تحديدها فقط بمعطيات ، الأخد في عين الاعتبار اللف "s" للإلكترون يأتي فقط من "الإنشاء المزدوج"⁽¹⁾ (dégénérescence double) لكل حالة خاصة إلكترونية لأن s=1/2 ، إذن ممكن تواجد قيمتين لإسقاط لف الإلكترون .

معادلة شرودنغر - الشق الخطي - الشق الزاوي

الهاميلتوني (3) لا يعتمد على الزمن، الدراسة الكمومية لذرة الهيدروجين تؤدي إلى حل معادلة شرودنجر الثابتة التالية للدالة الموجية في ثمثيل الموضع:

ليكن (4)

في نظرية حركة داخل حقل مركزي متناظر، نستخدم الإحداثيات القطبية (r,θ,φ) كما يتطلبه ثماثل الهاميلتوني (3)، الدالة الموجية المقابلة للحالات الخاصة ل و المؤثرات المرتبطة ب زخم الحركة الزاوي et ، المعادلة تتفكك إلى شق "خطي" و شق "زاوي"، الشق الزاوي يقابل التوافق الكروي ("k" هو "العدد الكمومي" المرتبط بالطاقة، عدد حقيقي ومتواصل)

، (5)

الدالة هي حل لمعادلة شرودنغر الخطية (الشق الخطي لمعادلة شرودنغر) الذي يمكن الحصول عليه من المعادلة ثلاثية الأبعاد (4) عن طريق استبدال في الصيغة (5) للدالة الموجية:

، (6)

من وجهة نظر فيزيائية، الحلول المقبولة للمعادلة (6) هي تلك التي لها سلوك عادي في المجال و موحدة حسب الشرط التالي:

، (7)

ملاحظة: بالنسبة للحالات المتواصلة، شرط التوحيد في المعادلة (7)، يجب أن تأخد في "معنى التوزيعات": ، "k" و "k’" أعداد حقيقية.

حل المعادلة الخطية

الحل الرياضي للمعادلة يتطلب اتباع عدة خطوات. أولا، من المناسب إرجاع المعادلة (6) إلى معادلة أحادية الأبعاد⁽²⁾ ، والبحث عن حلول للمعادلة التي يتم الحصول عليها حيث تكون في المركز عادية، وتميل إلى 0 في اللانهاية (وإلا فإنه لن تكون مربع قابل للجمع (Carré sommable)⁽³⁾)، إذن تغيير الدالة ضرورية لاستيفاء الحل.

المرور عبر معادلة بدون وحدات

إنه من الممكن إعادة كتابة المعادلة (6) على الشكل:

، (8)

تحليل الوحدات (الأبعاد) يُظهر بسهولة أن الكمية لها وحدة (بُعد) "عكس الطول". هذا يُعطي النسق "الطبيعي" للمسألة وأنه من الممكن أن نضع (9) ، ، و بالتالي من الممكن طبيعيا إدخال متغير بدون وحدة (بُعد) ، المعادلة (8) يمكن كتابتها كمعادلة ذات بعد واحد:

، (10)

و بدون فقدان الشكل العام، من الممكن أن نضع (11)، عدد حقيقي، الإشارة (-) في حالة إذا كانت "E<0". في هذا الثمثيل، المعادلة التي نريد حلها هي على الشكل:

(12)

السلوك المقارب لحلول المعادلة الخطية

إذا كان المعادلة (12) تصبح:

بحيث الحلول مرتبطة بإشارة E:

• E>0: لدينا إذن: عند حيث ( A و B ثابثتين للاشتقاق). حل كهذا يتوافق مع جسيم "حر" ، أي حالة مستقلة، متواصلة، إنها الحالة "المُتَأينة".
• E<0: لدينا إذن مع الأخد في عين الاعتبار ضرورية أن نجد محدود، سلوك مقارب على الشكل . في هذه الحالة من الواضح أن احتمال العثور على الإلكترون على مسافة كبيرة النواة يميل إلى 0، وبالتالي يتوافق مع حالة مرتبطة ، وهو ما متوقع فيزيائيا.

في ما يلي من المفيد أن ننظر فقط إلى حالة E <0 وبالتالي البحث عن الحلول:

، (13)

ذات سلوك مقارب (14).

السلوك عند المركز لحلول المعادلة الخطية

بصفة عامة، بالنسبة لحركة داخل حقل مركزي مثماثل، الحلول العادية للمعادلة (6) تكون على الشكل التالي في جوار المركز. (حركة داخل حقل مركزي مثماثل)، و بالتالي (15).

تحديد الحالات الخاصة

بسبب السلوك مقارب وجوار المركز (المعادلتين (14) و (15))، توجد حلول مقبولة فيزيائيا للمعادلة (13) للدوال الموجية الخطية بالنسبة لذرة الهيدروجين، من المهم إدخال الدالة الإضافية بحيث:

(16) بحيث قيمة المتغير الجديد (16 مكرر)

بهذا التغيير في الدالة والمتغير، المعادلة الأحادية البعد (13) تصبح:

، (17)

هذه المعادلة التفاضلية لديها الحل الدالة الفوق الهندسية المتموجة

ولكن، هذه الدالة لا يوجد لديها سلوك عادي عند اللانهاية إلا إذا كان "عدد صحيح طبيعي موجب أو منعدم"، إذن وبما أن عدد صحيح طبيعي . ضرورية وجود حلول عادية عند اللانهاية مقبولة فيزيائيا للمعادلة (17) ، تدعو إلى أن الحالات المرتبطة يجب أن تكون "كمومية"، قيم الممكنة هي : ، (17 مكرر)

في هذه الحالة، الدالة تصبح متعدد الحدود للاغير، .

الحالة الخاصة للدالة الموجية لذيها طاقة خاصة، وذلك حسب (9) و (11):

مع و ، (18)

الكمية توافق طاقة التأيُن لذرة الهيدروجين وهي نفسها التي تم الحصول عليها من خلال نموذج بور.

طاقة الإلكترون في حالة خاصة "غير مرتبطة" بالعدد الكمومي . نفس الحالة الخاصة ذات عدد كمومي "n" تتوافق إذن مع:

• n قيمة مختلفة ل ، من 0 إلى n-1.
• لكل قيمة ل ، ل m مرتبطة بوجود إنشاءات ⁽¹⁾ ضرورية لمستويات الطاقة المرتبطة بهذا العدد الكمومي.
• القيمتين الممكنتين ل لإسقاط الللف مغزلي على المحور OZ،

في النهاية، كل حالة للعدد الكمومي n تُنشأ مرة.

أخيرأ، الدوال الموجية حلول المعادلة (6) تُكتب على شكل: ، (19) بالأخد في الاعتبار (16) و (16 مكرر)، A هي ثابثة للتوحيد.

لنجمع جميع النتائج المحصل عليها، نأخد في الاعتبار (5)، الدوال الموجية الموحدة لحالة خاصة تُكتب على الشكل التالي:

، (20)