كتب geometric shapes in mathematics

أشهر المُجسّمات الهندسيّة

الهرم

يُمكن تعريف الهرم (بالإنجليزية: Pyramid) على أنّه مجسّم يتكوّن من قاعدة مُضلّعة ومسطحة ذات حواف مستقيمة، إضافةً إلى ثلاثة أوجة مُثلثة أو أكثر تلتقي جميعها عند نقطة واحدة فوق القاعدة وتسمى بالقمّة (بالإنجليزية: the Apex)، كما أنّ الهرم لا يمتلك أيّة مُنحنيات، وهناك عدة أنواع من الأهرام هي:

• الهرم القائم (بالإنجليزية: Right Pyramid): تكون قمة هذا النوع من الأهرامات على استقامة واحدة مع مركز القاعدة تماماً.
• الهرم المائل (بالإنجليزية: Oblique Pyramid): لا تقع قمة هذا النوع من الأهرامات فوق مركز القاعدة تماماً بل تميل عنه، كما أنّ الأوجة المُثلّثة الجانبيّة تكون غير مُتطابقة.
• الهرم الثلاثي (بالإنجليزية: Triangular Pyramid): لهذا النوع من الأهرامات قاعدة على شكل مُثلث.
• الهرم الرباعي (بالإنجليزية: Square Pyramid): لهذا النوع من الأهرامات قاعدة على شكل مربع.
• الهرم الخماسي (بالإنجليزية: Pentagonal Pyramid): لهذا النوع من الأهرامات قاعدة على شكل مُضلّع خماسي.
• الهرم المنتظم (بالإنجليزية: Regular Pyramid): هو الهرم الذي تكون قاعدته مُضلّعاً مُنتظماً.
• الهرم غير المنتظم (بالإنجليزية: Irregular Pyramid): هو الهرم الذي تكون قاعدته مُضلّعاً غير مُنتظماً.

يمكن تعريف الحجم على أنه إجمالي الفراغ أو المساحة التي يشغلها الشكل ثلاثي الأبعاد أو الجسم الصلب، ويتم قياسه باستخدام الوحدات المكعّبة، ويكون قانون حجم الهرم على النحو الآتي:

• حجم الهرم = ⅓× (مساحة القاعدة) × الارتفاع.

يُمكن تعريف المساحة السطحية للهرم على أنّها المساحة الإجمالية لجميع الأسطح، ويكون قانون مساحة سطح الهرم على النحو الآتي:

• مساحة سطح الهرم = (مساحة القاعدة) + ½× (محيط القاعدة)×(الارتفاع الجانبي أو طول المائل) .

لمزيد من المعلومات حول الهرم يمكنك قراءة المقالات الآتية: تعريف الهرم، مساحة سطح الهرم، ما هو عدد جهات الهرم.

الأسطوانة

يُمكن تعريف الأسطوانة (بالإنجليزية: Cylinder) على أنها مجسّم ثلاثي الأبعاد يتكوّن من دائرتين مُتطابقتين مُتّصلتين بسطح منحنٍ، وبذلك فهي تمتلك جانباً واحداً مُنحنياً، بينما تكون القاعدتان مُستويتين، ومُتطابقتين، ومُتوازيتين، ودائرتي الشكل أو بيضاويّتين، ولحساب حجم الاسطوانة فإنّ:

• حجم الأسطوانة= مساحة القاعدة×الارتفاع = π×مربع نصف قطر القاعدة×ارتفاع الأسطوانة = ( π×نق²)×(ع)؛ حيثُ أنّ:
  • نق: نصف قطر القاعدة الدائريّة.
  • ع: ارتفاع الاسطوانة.

وعند فرد الأسطوانة فإنّه يمكن ملاحظة أن شبكتها تتكوّن من دائرتين ومستطيل، وبالتالي عند حساب مساحة سطحها يجب جمع مساحات الأسطح ما يلي:

• مساحة الأسطوانة = 2×مساحة القاعدة الدائرية + مساحة المستطيل (المساحة الجانبية) = 2×(π×نق²)+2×π×نق×ع؛ حيثُ إنّ:
  • نق: نصف قطر القاعدة الدائريّة.
  • ع: ارتفاع الأسطوانة.

لمزيد من المعلومات حول الأسطوانة يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون مساحة وحجم الأسطوانة، قانون مساحة الإسطوانة، كيفية حساب حجم الأسطوانة، قانون المساحة الجانبية للأسطوانة.

المخروط

يُمكن تعريف المخروط (بالإنجليزية: Cone) على أنّه شكل هندسي مميز ذو سطح مستوِ يُعرف باسم القاعدة، وسطح منحنِ مُوجّه نحو القمة أو الرأس (باللإنجليزية: Apex) وهي النهاية المُدببة للمخروط، وهناك ثلاثة خصائص رئيسية للمخروط، وهي على النحو الآتي:

• له وجه دائري واحد.
• لا حواف له.
• له زاوية واحدة.

يُطلق على المخروط اسم المخروط الدائريّ القائم (بالإنجليزية: Right Circular Cone) إذا كانت القمة تقع مُباشرة فوق مركز الدائرة، وعلى استقامة واحدة معها، ويُطلق عليه اسم المخروط المائل (بالإنجليزية: Oblique Cone) إذا كانت القمّة تميل عن مركز الدائرة، ولا تقع على استقامة واحدة معها، ومن القوانين المُتعلقة بالمخروط ما يلي:

• المساحة الكليّة لسطح المخروط= π×نصف قطر قاعدة المخروط× طول المائل= π×نق×ل.
• حجم المخروط= ⅓×π×مربع نصف قطر قاعدة المخروط× ارتفاع = ⅓× πنق²×ع.
• مساحة القاعدة= π×مربع نصف قطر قاعدة المخروط = π×نق²؛ حيثُ إنّ:
  • نق: نصف قطر القاعدة الدائريّة.
  • ل: الارتفاع الجانبي للمخروط، أو طول المائل؛ حيث: ل²= نق²+ع².
  • ع: ارتفاع المخروط.

لمزيد من المعلومات حول المخروط يمكنك قراءة المقالات الآتية: تعريف المخروط، قانون مساحة المخروط، قانون حساب حجم المخروط.

المكعّب

المكعب (بالإنجليزية: Cube) هو شكل هندسيّ ثلاثي الأبعاد، له 6 وجوه مربعة، و 8 رؤوس، و 12 حرف أو ضلع أو حافة، وللمُكعّب العديد من الخصائص ومنها ما يلي:

• جميع زوايا المُكعّب قائمة.
• يتساوى ارتفاع المُكعّب مع عرضه، وطوله.
• جميع وجوه المكعب مربعة الشكل، ولها نفس الطول والعرض.
• الأضلاع المُقابلة لبعضها البعض متوازية.

ولأن جميع جوانب المُكعّب هي مُربعات مُتطابقة، فإنه إذا كان طول أحد أضلاعه=س، فإن حجم المكعّب يكون على النحو الآتي:

• حجم المكعّب= مكعب طول الضلع = س³.

ولحساب مساحة سطح المُكعّب يجب أولاً حساب مساحة كلّ وجه أو جانب وهي تساوي مربع طول الضلع= س²، ولأن جميع جوانب المُكعّب الستّة مُتطابقة فإنّ قانون مساحة سطح المُكعّب يكون على النحو الآتي:

• مساحة سطح المُكعّب=6× مربع طول الضلع= 6×س².

لمزيد من المعلومات حول المكعب يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون حجم المكعب، كيفية حساب حجم المكعب، قانون مساحة المكعب، عدد أضلاع المكعب.

مُتوازي المُستطيلات

يُمكن تعريف مُتوازي المُستطيلات (بالإنجليزية: Cuboid) على أنّه شكل ثلاثي الأبعاد، له 6 جوانب على شكل مستطيلات تسمى وجوه، و8 رؤوس، و 12 حرفاً أو ضلعاً، وتكون جميع الزوايا في مُتوازي المُستطيلات زوايا قائمة، كما أنّ جميع الوجوه المُتقابلة في مُتوازي المُستطيلات مُتساوية، كما يختلف طوله، عن عرضه، عن ارتفاعه، ولإيجاد حجم مُتوازي المُستطيلات يمكن استخدام القانون الآتي:

• حجم متوازي المستطيلات= الطول× العرض× الارتفاع ، وبالرموز: حجم متوازي المستطيلات= س×ل×ع؛ حيثُ إنّ:
  • س: عرض مُتوازي المُستطيلات.
  • ل: طول مُتوازي المُستطيلات.
  • ع: ارتفاع مُتوازي المُستطيلات.

ولإيجاد مساحة متوازي المستطيلات يجب أولاً حساب مساحة الوجوه الجانبيّة، والعلويّة، والسفليّة على النحو الآتي:

• مساحة السطحين العلوي والسفلي = 2×(الطول×العرض).
• مساحة السطحين الأمامي والخلفي = 2×(الطول×الارتفاع).
• مساحة السطحين الجانبيين = 2×(العرض×الارتفاع)، وعليه:
• مساحة متوازي المستطيلات الكلية = 2×(الطول×العرض)+ 2×(الطول×الارتفاع)+ 2×(العرض×الارتفاع)= 2×(الطول×العرض + الطول×الارتفاع + العرض×الارتفاع).

لمزيد من المعلومات حول متوازي المستطيلات يمكنك قراءة المقالات الآتية: تعريف متوازي المستطيلات، قانون حجم متوازي المستطيلات، قانون مساحة متوازي المستطيلات.

المنشور

يُمكن تعريف المنشور (بالإنجليزية: Prism) على أنّه شكل هندسيّ له قاعدتان مضلعتان، ومُتوازيتان ومُتطابقتان، تفصل بينهما مسافة تُسمّى الارتفاع، ويُسمى المنشور عادة باسم شكل القاعدة؛ فمثلاً إذا كانت القاعدة مُثلثاً فيُسمّى بالمنشور الثُلاثيّ (بالإنجليزية: Triangular Prism)، وإذا كانت القاعدة خُماسيّة فيُسمى بالمنشور الخُماسيّ (بالإنجليزية: Pentagonal Prism)، أما إذا كانت قاعدة المنشور مربعة الشكل وجميع وجوهه مربعة فيُعرف باسم المُكعّب (بالإنجليزية: Square Prism)، والمنشور ذو القاعدة المستطيلة يُعرف باسم متوازي المستطيلات (بالإنجليزية: Rectangular Prism)، أما المنشور السداسي (بالإنجليزية: Hexagonal Prism) فهو المنشور ذو القاعدة سداسية الشكل.

• يُحسب حجم المنشور باستخدام القانون الآتي:
  • حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع.
• وتُحسب مساحة سطح المنشور باستخدام القانون الآتي:
  • مساحة المنشور = 2×مساحة القاعدة + محيط القاعدة×الارتفاع.

لمزيد من المعلومات حول المنشور يمكنك قراءة المقال الآتي: مساحة سطح المنشور الرباعي.

الكرة

يُمكن تعريف الكرة (بالإنجليزية: Sphere) على أنّها جسم هندسيّ دائري ثلاثي الأبعاد، وبعبارة أخرى يُمكن القول إنّها دائرة ثلاثية الأبعاد ذات سطح منحنٍ وليس لها زوايا، وكل نقطة على سطح الكرة تبعُد مسافة ثابتة عن مركزها، وهذه المسافة تُعرف باسم نصف القطر (نق)، فالكرة جسم مُتماثل تماماً، وتُحسب مساحة سطح الكرة باستخدام القانون الآتي:

• مساحة سطح الكرة= 4×π× مربع نصف القطر = 4×π×نق²، أو مساحة سطح الكرة = π×ق²؛ حيثُ إنّ:
  • نق: نصف قطر الكرة.
  • ق: قطر الكرة.
• يُمكن حساب حجم الكرة باستخدام القانون الآتي:
  • حجم الكرة=4/3×π×مكعب نصف قطر الكرة، وبالرموز: حجم الكرة= 4/3×π×نق³.

لمزيد من المعلومات حول الكرة يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون حجم الكرة في الرياضيات، قانون مساحة سطح الكرة، قانون مساحة وحجم الكرة.

أشهر الأشكال الهندسيّة المستوية

مُتوازي الأضلاع

يُمكن تعريف مُتوازي الأضلاع (بالإنجليزية: Parallelogram) على أنّه شكل هندسيّ يكون فيه كل ضلعين مُتقابلين مُتوازيان، كما تكون زواياه المُتقابلة مُتساوية، بينما تكون زواياه المُتجاورة مُتكاملة، وله قطران ينصّف كُلّ منهما الآخر، كما أنّ كُلّ قطر يُقسم مُتوازي الأضلاع إلى مُثلثين مُتطابقين، وإذا كانت إحدى زواياه قائمة فإنّ جميع الزوايا الأخرى تكون قائمة وبالتالي يُصبح الشكل مستطيلًا، ويتمّ حساب مساحة مُتوازي الأضلاع باستخدام القانون الآتي:

• مساحة مُتوازي الأضلاع= طول القاعدة× الارتفاع.
• أما محيط متوزاي الأضلاع فيمكن حسابه باستخدام القانون الآتي: محيط متوازي الأضلاع= 2×(طول القاعدة+طول الضلع الجانبي).

لمزيد من المعلومات حول متوازي الأضلاع يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون متوازي الأضلاع، قانون مساحة متوازي الأضلاع، ما محيط متوازي الأضلاع، خصائص متوازي الأضلاع.

المُربّع

يُمكن تعريف المُربّع (بالإنجليزية: Square) على أنّه نوع خاص من المستطيل، ومن المعين، حيث يمتلك المربع خصائص مشتركة مع كل منهما، وتكون جميع زواياه قائمة، وجميع أضلاعه متساوية في الطول، ويُمكن القول إنّ المُربّع هو شكل رُباعيّ الأضلاع، يتشكّل عن طريق رسم 4 خطوط مُتساوية في الطول لتلتقي مع بعضها وتكوّن زوايا قائمة، والفرق بينه وبين المُستطيل هو أنّ طول ضلعين في المُستطيل يكون أطول من طول الضلعين الآخرين، وللمُربّع العديد من الخصائص ومنها ما يلي:

• تتساوى جميع أضلاعه، وتتساوى جميع زواياه.
• الأضلاع المُتقابلة مُتوازية.
• أقطاره مُتطابقة.
• تتعامد أقطاره وتُنصّف بعضها البعض عند نقطة التقاطع.
• يُعدّ المُربّع نوعاً خاصاً من متوازي الأضلاع؛ حيثُ تتساوى جميع أضلاعه، وتتساوى جميع زواياه، ويتحوّل متوازي الأضلاع إلى مُربّع عندما تتعامد أقطاره وتُنصّف بعضها البعض عند نقطة التقاطع.

وفيما يلي بعض القوانين الخاصّة بالمُربع:

• طول قطر المُربّع= 2√× طول ضلع المربع.
• مساحة المُربّع = طول ضلع المربع².
• محيط المُربّع = 4× طول ضلع المربع.

لمزيد من المعلومات حول المربع يمكنك قراءة المقالات الآتية: تعريف المربع، قانون محيط المربع، ما هي مساحة المربع، ما هو قطر المربع.

المُستطيل

يُمكن تعريف المُستطيل (بالإنجليزية: Rectangle) على أنّه شكل هندسيّ له أربعة أضلاع، وأربع زوايا قائمة، وللمُستطيل العديد من الخصائص، ومنها ما يلي:

• أضلاعه المُتقابلة مُتوازية ومتطابقة.
• أقطاره مُتطابقه وتنصّف بعضها البعض.
• تتطابق الزوايا المُتقابلة التي تتشكّل عند نقطة تقاطع الأقطار.
• يُعدّ المستطيل نوعاً خاصاً من مُتوازي الأضلاع حيثُ جميع زواياه قائمة.

وفيما يلي بعض القوانين الخاصّة بالمُستطيل:

• طول قطر المستطيل = (الطول²+العرض²)√.
• مساحة المُستطيل= الطول×العرض.
• مُحيط المُستطيل=2×(الطول+العرض) .

لمزيد من المعلومات حول المستطيل يمكنك قراءة المقالات الآتية: ما هو قانون المستطيل، قانون محيط المستطيل، قانون مساحة ومحيط المستطيل، كيف نحسب مساحة المستطيل، ما هو قطر المستطيل.

المعين

يُمكن تعريف المعين (بالإنجليزية: Rhombus) على أنّه شكل هندسيّ يتكون من 4 خطوط مستقيمة ومُتساوية في الطول، وزواياه المُتقابلة مُتساوية، وللمعين العديد من الخصائص، ومنها ما يلي:

• تتعامد أقطاره وتُنصّف بعضها البعض عند نقطة التقاطع.
• الزوايا المُتجاورة مُتكاملة؛ أي أنّ مجموعها يساوي 180 درجة.
• يُعدّ المعين متوازي أضلاع أقطاره متعامدة مع بعضها البعض، وأضلاعه متساوية.

وفيما يلي بعض القوانين الخاصّة بالمعين:

• مساحة المعين=½(طول القطر الأول×طول القطر الثاني) = طول الضلع× الارتفاع.
• مُحيط المعين=4×طول صلع المعين.

لمزيد من المعلومات حول المعين يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون محيط المعين، قانون حساب مساحة المعين، ارتفاع المعين.

شِبه المُنحرف

يُمكن تعريف شِبه المُنحرف (بالإنجليزية: Trapezoid) على أنّه شكل هندسيّ له أربعة أضلاع، وله ضلعان مُتوازيان فقط بينما الضلعان الآخران غير مُتوازيين، ويتميّز شِبه المُنحرف بأنّ أضلاعه وزواياه وأقطاره لا تتطابق، وفيما يلي بعض القوانين الخاصّة بشِبه المُنحرف:

• مساحة شِبه المُنحرف=½(طول القاعدة الأولى+طول القاعدة الثانية) ،
• مُحيط شِبه المُنحرف = مجموع أطوال أضلاعه = طول القاعدة الأولى+طول القاعدة الثانية+طول الضلع الجانبي الأول+طول الضلع الجانبي الثاني.

لمزيد من المعلومات حول شبه المنحرف يمكنك قراءة المقالات الآتية: بحث عن شبه المنحرف، قانون محيط شبه المنحرف، مساحة الشبه المنحرف، قوانين شبه المنحرف.

الدائرة

يُمكن تعريف الدائرة (بالإنجليزية: Circle) على أنّها شكل من الأشكال الهندسيّة لا يمتلك خطوطاً مستقيمةً، ولا زوايا، فهي عبارة عن مجموعة من المُنحنيات التي ترتبط مع بعضها البعض لتشكّل حلقة مغلقة في النهاية، ويُمكن القول أيضاً بأنّها مجموعة من النقاط التي تبعُد مسافة مُتساوية عن نقطة معيّنة تسمى المركز (بالإنجليزية: Centre)، ويُسمى الخطّ الذي يمرّ بمركز الدائرة ويمسّ نقطتين على المُحيط بالقطر (ق) (بالإنجليزية: Diameter)، ويُسمى الخط المرسوم من مركز الدائرة إلى مُحيطها بنصف القطر (نق) (بالإنجليزية: Radius)، وللدائرة العديد من الخصائص منها ما يلي:

• تتطابق الدوائر إذا كان لها نصف قطر متساوٍ.
• قطر الدائرة هو أطول وتر فيها.
• تتساوى الأوتار في الطول إذا كانت تبعُد عن المركز نفس المسافة.
• كُلّما زاد طول الوتر قلّت المسافة العموديّة بينه وبين مركز الدائرة.

وفيما يلي بعض القوانين الخاصّة بالدائرة:

• مساحة الدائرة=π×نق².
• مُحيط الدائرة=2×π×نق.
• ق =2×نق؛ حيثُ إنّ:
  • ق: قطر الدائرة.
• نق: نصف قطر الدائرة.
• π: ثابت عددي قيمته 3.14 أو 22/7.

لمزيد من المعلومات حول الدائرة يمكنك قراءة المقالات الآتية: بحث عن الدائرة ومحيطها، كيف أحسب مساحة الدائرة، ما هو قانون محيط الدائرة، خصائص الدائرة.

المُثلث

يُمكن تعريف المُثلث (بالإنجليزية: Triangle) على أنّه شكل هندسيّ يتكوّن من ثلاثة خطوط متصلة، ويُمكن أن تكون قياسات زوايا المُثلث مُختلفة عن بعضها البعض خلافاً للمستطيل أو المربع، فهي ليست قائمة، وتتمّ عادة تسمية المُثلثات اعتماداً على نوع الزوايا الموجودة داخله على النحو الآتي:

• المُثلث قائم الزاوية (بالإنجليزية: Right-Angled Triangle): المثلث الذي له زاوية واحدة قائمة.
• المُثلث حادّ الزاوية (بالإنجليزية: Acute-Angled Triangle): المثلث الذي تكون جميع زواياه أقل من 90 درجة.
• المثلث مُنفرج الزاوية (بالإنجليزية: Obtuse Angled Triangle): المُثلث الذي تكون إحدى زواياه أكبر من 90 درجة.

كما تتمّ تسمية المُثلثات اعتماداً على طول أضلاعهاعلى النحو الآتي:

*المُثلث مُتساوي الأضلاع (بالإنجليزية: Equilateral Triangle): المُثلث الذي تكون جميع زواياه تُساوي 60 درجة، وله ثلاثة أضلاع مُتطابقة

• مثلث مُختلف الأضلاع (بالإنجليزية: Scalene Triangle): تكون جميع أضلاعه وزواياه ذات قياسات مُختلفة.
• مثلث متساوي الساقين (بالإنجليزية: Isosceles Triangle): المُثلث الذي له ضلعان متطابقان.

وفيما يلي بعض القوانين الخاصّة بالمُثلث:

• مجموع زوايا المُثلث=180،
• مساحة المثلث=½×طول القاعدة×الارتفاع،
• محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه = أ+ب+ج؛ حيثُ إنّ:
  • أ: طول القاعدة.
  • ب، ج: طول الضلعين الآخرين.

لمزيد من المعلومات حول المثلث يمكنك قراءة المقالات الآتية: بحث رياضيات عن المثلثات، انواع المثلثات، قانون محيط المثلث، كيف أحسب مساحة المثلث.

نظرة عامة حول الأشكال الهندسيّة

ينقسم علم الهندسة (بالإنجليزية: Geometry) إلى نوعين رئيسيين هما:

• الهندسة المستوية (بالإنجليزية: Plane Geometry): وهو العلم الذي يختص بالتعامل مع الأشكال التي تمتلك بُعدين فقط، وهي الأشكال المتسوية ثنائية الأبعاد؛ مثل المثلثات، والخطوط، وأيّ شكل يُمكن رسمه على قطعة مسطّحة من الورق.
• الهندسة الصلبة (بالإنجليزية: Solid Geometry): وهو العلم الذي يختص بالتعامل مع الأشكال التي تمتلك ثلاثة أبعاد، أو المجسمات الهندسية؛ مثل المُكعبات، والكرات، ويُمكن القول إنّ كُلّ ما يحيط بالبشر هو ثلاثيّ الأبعاد؛ فكُلّ ما حولهم من الأجسام يمتلك عرضاً، وعمقاً، وارتفاعاً.

لمزيد من المعلومات حول الأشكال الهندسية يمكنك قراءة المقالات الآتية: خصائص الأشكال الرباعية، المجسمات الهندسية.