كتب expansion in solids

من الضروري عند حساب التمدد الحراري الأخذ بعين الاعتبار كون الجسم حرًا في تمدده أو مقيدًا. عند كون الجسم حرًا في تمدده، يمكن حساب تمدد الجسم أو انفعاله ببساطة باستخدام معامل تمدده الحراري الممكن تطبيقه.

إذا كان الجسم مقيدًا بحيث لا يستطيع التمدد، فسينتج (أو يتغير) الإجهاد الداخلي بتغير درجة الحرارة. يمكن حساب هذا الإجهاد بدراسة الانفعال الذي كان سيحدث لو كان الجسم حرًا في تمدده والإجهاد اللازم لتخفيض ذلك الانفعال إلى الصفر، وذلك عبر علاقة الإجهاد/الانفعال التي يحددها عامل يونغ (أو عامل المرونة الأول). في الحالة الخاصة للمواد الصلبة، لا يؤثر الضغط الخارجي المحيط عادةً بشكل كبير على حجم الجسم، وبالتالي، ليس من الضروري عادةً أخذ أثر تغير الضغط بالاعتبار.

لا تتغير معاملات التمدد الحراري للمواد الهندسية الصلبة عادةً بشكل كبير ضمن مجال درجات الحرارة الذي صممت للعمل عنده، لذا، عندما لا تكون الدقة الشديدة مطلوبةً، يمكن إجراء الحسابات العملية على أساس معامل تمدد حراري بقيمة وسطية ثابتة.

التمدد الخطي

يعني التمدد الخطي تغيرًا بجهة واحدة (الطول) في مقابل التغير في الحجم (التمدد الحجمي). بتقريب أول، يتعلق تغير قياسات طول شيء ما نتيجة التمدد الحراري بتغير درجة الحرارة وفق «معامل تمدد حراري خطي». وهو التغير النسبي في الطول لكل تغير في درجة الحرارة بمقدار درجة واحدة. بافتراض إمكان إهمال أثر الضغط، يمكن كتابة:

حيث قياس محدد للطول و معدل تغير البعد الطولي ذاك لكل تغير واحدي في درجة الحرارة.

يمكن تقدير التغير في البعد الخطي تقريبيًا بأنه:

يمكن استعمال هذا التقريب طالما أن معامل التمدد الخطي لا يتغير بشدة مع تغير درجة الحرارة ، وطالما أن التغير النسبي في الطول صغير . إذا اختلّ أي من هذين الشرطين، تجب مكاملة المعادلة التفاضلية الدقيقة (باستخدام ).

الآثار على الانفعال

يمكن تقدير كمية التمدد الحراري للمواد الصلبة ذات الأطوال المعتبرة، كالقضبان والكابلات، عن طريق انفعال المادة، الذي يُرمز له بالرمز ويعرّف بأنه:

حيث هو الطول الابتدائي قبل تغير درجة الحرارة و الطول النهائي بعد تغير درجة الحرارة.

في معظم المواد الصلبة، يتناسب التمدد الحراري طردًا مع تغير درجة الحرارة:

وبالتالي، يمكن تقدير التغير في كل من الانفعال أو درجة الحرارة تقريبيًا بالعلاقة:

حيث

هو الفرق في درجات الحرارة بين انفعالين مسجلين، مقاسًا بدرجات فهرنهايت، أو درجات رانكين، أو الدرجات المئوية (سيليسيوس)، أو مقاسًا بالكلفن، و هو المعامل الخطي للتمدد الحراري بواحدة «لكل درجة فهرنهايت» أو «لكل درجة رانكين» أو «لكل درجة سيليسيوس» أو «لكل كلفن» ويرمز لها على التتالي °F⁻¹, R⁻¹, °C⁻¹, or K⁻¹,. في مجال ميكانيك الوسط المستمر، يُعامل التمدد الحراري وتُعامل آثاره على شكل مصفوفة مميزة للانفعال ومصفوفة مميزة للإجهاد.

التمدد السطحي

يربط معامل التمدد الحراري السطحي بين التغير في أبعاد مساحة المادة والتغير في درجة الحرارة. هو التغير النسبي في المساحة لكل تغير في درجة الحرارة بمقدار درجة واحدة. بإهمال الضغط، يمكننا أن نكتب:

حيث مساحة ما مميزة من الجسم، و معدل تغير تلك المساحة بالنسبة إلى واحدة تغير درجة الحرارة.

يمكن تقريب التغير النسبي في المساحة إلى:

يمكن استعمال هذه المعادلة طالما أن معامل التمدد السطحي لا يتغير بشدة في المجال الحراري ، والتغير النسبي في المساحة صغير . إذا اختل أحد الشرطين، تجب مكاملة العلاقة.

التمدد الحجمي

يمكن إهمال آثار الضغط على المادة الصلبة، ويمكن عندها كتابة معامل التمدد الحراري الحجمي على الشكل:

حيث حجم المادة، و معدل تغير الحجم مع درجة الحرارة.

يعني هذا أن حجم المادة يتغير بمقدار نسبي معين ثابت. مثلًا، تتغير كتلة من الفولاذ حجمها متر مكعب واحد ليصبح حجمها 1.02 متر مكعب عند ارتفاع درجة الحرارة بمقدار 50 كلفن. هذا تمدد مقداره 0.2%. لو كان لدينا كتلة من الفولاذ حجمها متران مكعبان، فعند نفس الشروط، ستتمدد ليصبح حجمها 2.04 متر مكعب، وهو أيضًا تمدد بمقدار 0.2%. يكون معامل التمدد الحراري الحجمي 0.2% لكل 50 كلفن، أو 0.004% K⁻¹.

إذا كنا نعرف مسبقًا معامل التمدد، يمكننا حساب التغير في الحجم:

حيث هو التغير النسبي في الحجم (0.002 في المثال) و هو التغير في درجات الحرارة (50 درجة مئوية).

يفترض المثال السابق أن معامل التمدد لم يتغير بتغير درجة الحرارة وأن الزيادة في الحجم صغيرة بالمقارنة مع الحجم الأصلي. وهذا غير صحيح دائمًا، لكنه تقريب جيد لأجل تغيرات صغيرة في درجة الحرارة. إذا لم يتغير معامل التمدد الحجمي بشكل كبير مع درجة الحرارة، أو إذا كان ازدياد الحجم كبيرًا؛ تجب مكاملة العلاقة السابقة لتصبح:

حيث هو معامل التمدد الحجمي كتابع لدرجة الحرارة T، و , هما درجة الحرارة الابتدائية والنهائية على التتالي.

المواد المتناحية (أو المواد متواحدة الخواص أو المواد الإيزوتروبية)

قيمة معامل التمدد الحراري الحجمي للمواد المتناحية ثلاثة أضعاف قيمة المعامل الخطي:

تنشأ هذه النسبة من أن الحجم مركب من ثلاثة اتجاهات متعامدة فيما بينها. وبالتالي، ففي مادة متناحية، ولأجل تغيرات تفاضلية صغيرة، يكون ثلث التمدد الحجمي على محور وحيد. على سبيل المثال، لنأخذ مكعبًا من الفولاذ له أحرف طول كل منها L. عندها يكون الحجم الأصلي وسيكون الحجم الجديد بعد ازدياد درجة الحرارة:

يمكننا بسهولة إهمال الحدود، لأن التغير في L مقدار صغير أصلًا، وبالتالي سيصغر كثيرًا عند تربيعه.

إذًا:

يبقى التقريب السابق صحيحًا لأجل تغيرات صغيرة في درجات الحرارة والأبعاد (أي عندما يكون و صغيرين)؛ لكنه لا يبقى صحيحًا إذا كنا نحاول الانتقال جيئة وذهابًا بين المعاملات الخطية والحجمية باستخدام قيم أكبر للفرق . في تلك الحالة، يجب أخذ الحد الثالث (وأحيانًا حتى الحد الرابع) بالحسبان في المعادلة السابقة.

وبالمثل، فإن قيمة معامل التمدد الحراري السطحي هي ضعفا قيمة المعامل الخطي:

يمكن إيجاد هذه النسبة بشكل مشابه لتلك التي في المثال الخطي أعلاه، بملاحظة أن مساحة وجه المكعب تساوي فقط . أيضًا، يجب وضع نفس الاعتبارات عند التعامل مع قيم كبيرة للفرق .

المواد اللامتناحية (أو المواد متباينة الخواص أو الأنيزوتروبية)

إن المواد ذات البنى اللامتناحية، كالمواد ذات البنية البلورية (التي لها تناظر أقل من مكعب، كالأطوار المارتنسيتية) ومركبات عديدة، يكون لها بشكل عام معاملات تمدد حراري خطي مختلفة في الاتجاهات المختلفة. وكنتيجة لذلك، يتوزع التمدد الحجمي الكلي بشكلٍ غير متساوٍ على المحاور الثلاثة. إذا كان التناظر البلوري أحادي الميل أو ثلاثي الميل، تخضع زوايا تلك المحاور أيضًا للتغيرات الحرارية. من الضروري في الحالات المشابهة معاملة معامل التمدد الحراري على أنه متجه موتر له ما يصل إلى ستة عناصر مستقلة. من الجيد دراسة التمدد من خلال حيود المسحوق بواسطة الأشعة السينية لتحديد عناصر المتجه الموتر. يكون موتر معامل التمدد الحراري للمواد التي تمتلك خاصية تناظر مكعب (كالمواد ذات البلورات المتمركزة حجميًا (بي سي سي) والمواد ذات البلورات المتمركزة وجهيًا (إف سي سي)) متناحيًا (إيزوتروبيًا).