كتب examples of solving cubic equations

• المثال الأول: جد الحلول للمعادلة التكعيبيّة الآتية: 2س³+3 س²-11 س-6=0؟
  • الحلّ:
  • إيجاد عوامل العدد -6، ثمّ تعويضها في المعادلة مكان س، حتى العثور على العامل الذي يجعل المُعادلة تساوي صفراً، وهذا العدد هو 2؛ حيث: 2׳(2)+3ײ(2)-11×(2)-6= 0.
  • كتابة المُعادلة على الصورة الآتية: (س-2)(س²+أس+ب)؛ حيثُ يُمثّل 2 العدد الذي تمّ إيجاده في الخطوة السابقة، وبالتالي الحدّ (س-2) يُمثّل أحد عوامل المُعادلة التكعيبيّة، ويمثّل س=2 أحد الحلول للمعادلة.
  • إيجاد الحدّ (س²+أس+ب) الذي يُمثّل العبارة التربيعيّة باستخدام القسمة التركيبيّة؛ وذلك بقسمة المعادلة التكعيبيّة على (س-2) كما يلي:

2 3 -11 -6| س= 2

ــ 4 14 6 |

------------------------------

2 7 3 0 |

• • يُمثّل الصفّ السفلي عوامل المعادلة التربيعيّة (س²+أس+ب) المضروبة بالعامل (س-2)، وبالتالي تُكتب المُعادلة التكعيبيّة 2س³+3 س²-11 س-6=0 على النحو الآتي: (2س²+7س+3)(س-2)=0.
  • تحليل المُعادلة التربيعيّة بإحدى الطرق المُتاحة لينتج أنّ: (2س²+7س+3)=(2س+1)(س+3)، وبالتالي تُكتب المعادلة التكعيبية على النحو الآتي: (2س+1)(س+3)(س-2)=0، ومنه ينتج أنّ الحلول هي: س=-½، س=-3، س=2.

• المثال الثاني: جد الحلول للمعادلة التكعيبيّة الآتية: س³-7 س²+4 س+12=0؟
  • الحلّ:
  • إيجاد عوامل العدد 12 ثمّ تعويضها في المعادلة مكان س، حتى العثور على العامل الذي يجعل المُعادلة تساوي صفراً، وهذا العدد هو -1؛ حيث: (-1)³-7×(-1)²+4×(-1)+12=0.
  • كتابة المُعادلة على الصورة الآتية: (س+1)(س²+أس+ب)؛ حيثُ يُمثّل -1 العدد الذي تمّ إيجاده في الخطوة السابقة، وبالتالي الحدّ (س+1) يُمثّل أحد عوامل المُعادلة التكعيبيّة، و يمثّل س=-1 أحد الحلول للمعادلة.
  • إيجاد الحدّ (س²+أس+ب) الذي يُمثّل عبارة تربيعيّة باستخدام القسمة التركيبيّة؛ وذلك بقسمة المعادلة التكعيبيّة على (س+1) كما يلي:

1 -7 4 12 | س= -1

ــ -1 8 12 |

------------------------------

1 -8 12 0 |

• • يُمثّل الصفّ السفلي عوامل المعادلة التربيعيّة (س²+أس+ب) المضروبة بالعامل (س+1)، وبالتالي تُكتب المُعادلة التكعيبيّة س³-7 س²+4 س+12=0 على النحو الآتي: (س²-8س+12)(س+1)=0.
  • تحليل المُعادلة التربيعيّة بإحدى الطرق المُتاحة لينتج أنّ: (س²-8س+12)=(س-2)(س-6)، وبالتالي تُكتب المعادلة التكعيبية على النحو الآتي: (س-2)(س-6)(س+1)=0، ومنه ينتج أنّ الحلول هي: س=2، س=6، س=-1.

• المثال الثالث: جد الحلول للمعادلة التكعيبيّة الآتية: 6س³-5 س²-17 س+6=0؟
  • الحلّ:
  • إيجاد أحد الأعداد الذي يؤدي تعويضه في المعادلة مكان س إلى جعل المُعادلة تساوي صفراً، وهذا العدد هو 2؛ حيث: 6×(2)³-5×(2)²-17×(2)+6=0.
  • كتابة المُعادلة على الصورة الآتية: (س-2)(س²+أس+ب)؛ حيثُ يُمثّل 2 العدد الذي تمّ إيجاده في الخطوة السابقة، وبالتالي الحدّ (س-2) يُمثّل أحد عوامل المُعادلة التكعيبيّة، و يمثّل س=2 أحد الحلول للمعادلة.
  • إيجاد الحدّ (س²+أس+ب) الذي يُمثّل عبارة تربيعيّة باستخدام القسمة التركيبيّة؛ وذلك بقسمة المعادلة التكعيبيّة على (س-2) كما يلي:

6 -5 -17 6| س= 2

ــ 12 14 -6|

------------------------------

6 7 -3 0 |

• • يُمثّل الصفّ السفلي عوامل المعادلة التربيعيّة (س²+أس+ب) المضروبة بالعامل (س-2)، وبالتالي تُكتب المُعادلة التكعيبيّة 6س³-5 س²-17 س+6=0 على النحو الآتي: (6س²+7س-3)(س-2)=0.
  • تحليل المُعادلة التربيعيّة بإحدى الطرق المُتاحة لينتج أنّ: (6س²+7س-3)=(2س+3)(3س-1)، وبالتالي تُكتب المعادلة التكعيبية على النحو الآتي: (2س+3)(3س-1)(س-2)=0، ومنه ينتج أنّ الحلول هي: س=-1.5، س=⅓، س=2.

• المثال الرابع: جد الحلول للمعادلة التكعيبيّة الآتية: س³-2 س²-6س+4=0؟
  • الحلّ:
  • إيجاد عوامل العدد 4، ثمّ تعويضها في المعادلة مكان س، حتى العثور على العامل الذي يجعل المُعادلة تساوي صفراً، وهذا العدد هو -2.
  • كتابة المُعادلة على الصورة الآتية: (س+2)(س²+أس+ب)؛ حيثُ يُمثّل -2 العدد الذي تمّ إيجاده في الخطوة السابقة، وبالتالي الحدّ (س+2) يُمثّل أحد عوامل المُعادلة التكعيبيّة، و يمثّل س=-2 أحد الحلول للمعادلة.
  • إيجاد الحدّ (س²+أس+ب) الذي يُمثّل عبارة تربيعيّة باستخدام القسمة التركيبيّة؛ وذلك بقسمة المعادلة التكعيبيّة على (س+2) كما يلي:

1 -2 -6 4| س= -2

ــ -2 8 -4|

------------------------------

1 -4 2 0 |

• • يُمثّل الصفّ السفلي عوامل المعادلة التربيعيّة (س²+أس+ب) المضروبة بالعامل (س+2)، وبالتالي تُكتب المُعادلة التكعيبيّة س³-2 س²-6س+4=0 على النحو الآتي: (س²-4س+2)(س+2)=0.
  • تحليل المُعادلة التربيعيّة باستخدام الصيغة العامّة لحلّ المُعادلة التربيعيّة، لينتج أنّ: س=2±2√، وبالتالي ينتج أنّ الحلول هي: س=2±√2، س=-2.

• المثال الخامس: جد الحلول للمعادلة التكعيبيّة الآتية: س³-6 س²+11 س-6=0؟
  • الحلّ:
  • إيجاد عوامل العدد -6، ثمّ تعويضها في المعادلة مكان س حتى العثور على العدد الذي يجعل المُعادلة تساوي صفراً، وهذا العدد هو 1؛ حيث: (1)³-6×(1)²+11×(1)-6=0
  • كتابة المُعادلة على الصورة الآتية: (س-1)(س²+أس+ب)؛ حيثُ يُمثّل 1 العدد الذي تمّ إيجاده في الخطوة السابقة، وبالتالي الحدّ (س-1) يُمثّل أحد عوامل المُعادلة التكعيبيّة، و يمثّل س=1 أحد الحلول للمعادلة.
  • إيجاد الحدّ (س²+أس+ب) الذي يُمثّل عبارة تربيعيّة باستخدام القسمة التركيبيّة؛ وذلك بقسمة المعادلة التكعيبيّة على (س-2) كما يلي:

1 -6 11 -6| س= 1

ــ 1 -5 6|

------------------------------

1 -5 6 0 |

• • يُمثّل الصفّ السفلي عوامل المعادلة التربيعيّة (س²+أس+ب) المضروبة بالعامل (س-1)، وبالتالي تُكتب المُعادلة التكعيبيّة س³-6 س²+11 س-6=0 على النحو الآتي: (س²-5س+6)(س-1)=0.
  • تحليل المُعادلة التربيعيّة بإحدى الطرق المُتاحة لينتج أنّ: (س²-5س+6)=( س-3)( س-2)، وبالتالي تُكتب المعادلة التكعيبية على النحو الآتي: ( س-3)( س-2)(س-1)=0، ومنه ينتج أنّ الحلول هي: س=3، س=2، س=1.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المعادلات التكعيبية يُمكنك قراءة المقالات الآتية: تحليل_الفرق_بين_مكعبين، تحليل مجموع مكعبين.