كتب examples of solving a quadratic equation

عند حلّ مُعادلة من الدرجة الثانية، يُمكن الأخذ بالنقاط الآتية بعين الاعتبار لتحديد طريقة الحلّ المناسبة:

• استخدام طريقة التحليل إلى العوامل كأول طريقة، بعد أن تُكتب المعادلة على الصورة القياسيّة، وإذا لم يتمّ الحصول على حلول للمُعادلة خلال دقيقة واحدة فيجب الانتقال إلى طريقة أخرى فوراً.
• أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين إذا كان الطرف الذي يحوي المُتغيّر مُربّعاً كاملاً، وإضافة إشارة ± للحلّ بعد أخذ الجذر التربيعي.
• استخدام طريقة إكمال المُربع إذا كان مُعامل س²=1 ومعامل س عدد زوجيّ.
• الصيغة العامّة تصلح لجميع أنواع المعادلات، وإذا كان العدد تحت الجذر كبيراً فيُمكن اعتماد طريقة أخرى للحلّ.

أمثلة على استخدام الصيغة العامة

المثال الأول: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: س²+3س-4=0؟

• الحلّ:
  • تعويض أ=1، ب=3، ج=-4، في قانون الصيغة العامّة لينتج أنّ: س= (-3 ±(3²-4×-4×1)√)/(2×1)، ومنه: س=-3±5/ 2، وبالتالي س+=-3+5/2=2/2=1، س-=-3-5/2=-8/2=-4.

المثال الثاني: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: 3س²-س+5=7 ؟

• الحلّ:
  • كتابة المُعادلة التربيعيّة على الصورة القياسيّة، وذلك بطرح 7 من الطرفين، لينتج أن: 3س²-س-2=0،
  • تعويض أ=3، ب=-1، ج=-2، في قانون الصيغة العامّة لينتج أنّ: س= (1 ±((-1)²-(4×3×-2)√)/(2×3)، ومنه: س=1±5/6، بالتالي س+=1+5/6=6/6=1، س-=1-5/6=-4/6=-2/3.

أمثلة على التحليل إلى العوامل

المثال الأول: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: س²+5س+6=0 ؟

• الحلّ:
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 5، وناتج ضربهما يساوي 6، وهما 2، 3، ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س+2)(س+3)=0.
  • ومنه إما أنّ: (س+2)=0، لينتج أنّ: س=-2، وإما أنّ: (س+3)=0، لينتج أنّ: س=-3، إذن الحلول لهذه المُعادلة التربيعية هما: س=-2 و س=-3.

المثال الثاني: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: س²+5س+6=20 ؟

• الحلّ:
  • كتابة المُعادلة التربيعيّة على الصورة القياسيّة بطرح 20 من الطرفين لينتج أن: س²+5س-14=0.
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 5، وناتج ضربهما يساوي -14، وهما -2، 7، ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س-2)(س+7)=0.
  • ومنه إما أنّ: (س-2)=0، لينتج أنّ: س=2، وإما أنّ: (س+7)=0، لينتج أنّ: س=-7، إذن الحلول لهذه المُعادلة التربيعية هما: س=2 و س=-7.

المثال الثالث: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: س²-س-42=0 ؟

• الحلّ:
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي -1، وناتج ضربهما يساوي -42، وهما 6، -7، ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س+6)(س-7)=0.
  • ومنه إما أنّ: (س+6)=0، لينتج أنّ: س=-6، وإما أنّ: (س-7)=0، لينتج أنّ: س=7، إذن الحلول لهذه المُعادلة التربيعية هما: س=-6 و س=7.

المثال الرابع: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: س²-11س+28=0 ؟

• الحلّ:
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي -11، وناتج ضربهما يساوي 28، وهما -4، -7، ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س-4)(س-7)=0.
  • ومنه إما أنّ: (س-4)=0، لينتج أنّ: س=4، وإما أنّ: (س-7)=0، لينتج أنّ: س=7، إذن الحلول لهذه المُعادلة التربيعية هما: س=4 و س=7.

أمثلة على إكمال المربع

المثال الأول: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: 2س²-س-1=0 ؟

• الحلّ:
  • قسمة الطرفين على 2 لجعل معامل س²=1، لينتج: س²-½س-½=0
  • إضافة ½ إلى الطرفين، لينتج: س²-½س=½
  • إضافة (-2/½×1) ²=1/16 إلى طرفيّ المُعادلة، لينتج: س²-½س+1/16=½+1/16، ومنه: س²-½س+1/16=9/16.
  • تحليل الطرف الأول للمعادلة، لينتج: (س-¼)²=9/16.
  • أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج: س-¼= ±(9/16)√، ومنه س-¼= ±¾، ثمّ بإضافة ¼ إلى الطرفين، ينتج أنّ: س=±¾+¼، فإمّا أنّ: س=+¾+¼=4/4=1، وإمّا أنّ: س=-¾+¼=-2/4=-½.

المثال الثاني: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: س²-4س-8=0 ؟

• الحلّ:
  • إضافة 8 إلى الطرفين، لينتج: س²-4س=8.
  • إضافة (-4/2×1) ²=4 إلى طرفيّ المُعادلة، لينتج: س²-4س+4=8+4، ومنه: س²-4س+4=12.
  • تحليل الطرف الأول للمعادلة، لينتج: (س-2)²=12.
  • أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج: (س-2)= ±12√، ثمّ بإضافة 2 للطرفين، ينتج أنّ: س= 12√±2=3√2±2، فإمّا أنّ: س=3√2+2، وإمّا أنّ: س=3√2-2.

المثال الثالث: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: س²-10س=-12 ؟

• الحلّ:
  • إضافة (-10/2×1) ²=25 إلى طرفيّ المُعادلة، لينتج: س²-10س+25=-12+25 ، ومنه: س²-10س+25=13.
  • تحليل الطرف الأول للمعادلة، لينتج: (س-5)²=13.
  • أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج: (س-5)=±13√، ثمّ بإضافة 5 للطرفين ينتج أنّ: س=13√±5، فإمّا أنّ: س=13√+5، وإمّا أنّ: س=13√-5.

المثال الرابع: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: 4س²+س=3 ؟

• الحلّ:
  • قسمة الطرفين على 4 لجعل معامل س²=1، لينتج: س²+¼س=¾
  • إضافة (-2/¼×1) ²=1/64 إلى طرفيّ المُعادلة، لينتج: س²+¼س+1/64=¾+1/64، ومنه: س²+¼س+1/64=49/64.
  • تحليل الطرف الأول للمعادلة، لينتج: (س+⅛)²=49/64.
  • أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج: (س+⅛)=(49/64)√، ومنه: س+⅛=±⅞ ثمّ بطرح ⅛ من الطرفين ينتج أنّ: س=⅞±⅛-، فإمّا أنّ: س=⅞+⅛-=6/8=3/4، وإمّا أنّ: س=-⅞-⅛-=-8/8=-1.

أمثلة على الجذر التربيعيّ

المثال الأول: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: 4س²+1=7 ؟

• الحلّ:
  • طرح 1 من الطرفين، لينتج أن: 4س²=6، ثمّ قسمة الطرفين على 4، لينتج: س²=3/2.
  • أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج أنّ: س=±(3/2)√.

المثال الثاني: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: 3(س-4)²=15 ؟

• الحلّ:
  • قسمة الطرفين على 3، لينتج أنّ: (س-4)²=5.
  • أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج أنّ: س-4=±5√، ثمّ بإضافة 4 للطرفين، ينتج أنّ: س=5√±4، فإمّا أنّ: س=5√+4، وإمّا أنّ: س= 5√-4.

المثال الثالث: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: -7(س²-10)²-6=-258 ؟

• الحلّ:
  • إضافة 6 للطرفين، لينتج: -7(س²-10)²=-252، ثمّ بقسمة الطرفين على -7، ينتج أنّ: (س²-10)²=36.
  • أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج أنّ: س²-10=±36√، ومنه: س²-10=±6.
  • أخذ الحالة عندما تكون 6 موجبة، لينتج أنّ: س²-10=6، ثمّ إضافة 10 للطرفين ينتج أنّ: س²=16، بعدها أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين لينتج أنّ: س=±16√=±4.
  • أخذ الحالة عندما تكون 6 سالبة، لينتج أنّ: س²-10=-6، ثمّ ثمّ إضافة 10 للطرفين ينتج أنّ: س²=4، بعدها أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج أنّ: س=±4√=±2.