كتب examples of factoring the difference between two cubes

• المثال الأول: حلّل ثنائي الحدود الآتي إلى عوامله الأولية س³-27.
  • الحل:
  • إنّ ثنائي الحدود المُعطى يُمثّل الفرق بين مُكعّبين حيث إنّ الحد س³ يعتبر مُكعّباً كاملاً، والحد 27 أيضاً جاء على شكل مُكعّب كامل، والجذر التكعيبي للحد (س³) يُساوي س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (27) يُساوي 3، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: س³-27=(س-3)(س²+3س+9).

• المثال الثاني: حلل العبارة الآتية: (64-125)، باستخدام الفرق بين مكعبين.
  • الحل:
  • نلاحظ أنّ الحَدَّ الأول 125 عبارة عن مكعب كامل =5×5 ×5، كما أنّ الحَدَّ الثاني 64عبارة عن مكعب كامل= 4×4×4، وبهذا يمكن كتابة المسألة على صورة: 64-125= (4)³-(5)³.
  • استخدام الصيغة العامة للفرق بين مكعبين والتعويض فيها لينتج أن: (4)³-(5)³= (4-5)×((4)²+(4×5)+(5)²)
  • (4)³-(5)³ = (1-)×(16+20+25)= 61-.

• المثال الثالث: حلّل ثنائي الحدود الآتي إلى عوامله الأولية س³-8.
  • الحل:
  • إنّ ثنائي الحدود المُعطى يُمثّل الفرق بين مُكعّبين حيث إنّ الحد س³ يعتبر مُكعّباً كاملاً، والحد 8 أيضاً جاء على شكل مُكعّب كامل، والجذر التكعيبي للحد (س³) يُساوي س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (8) يُساوي 2، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص )(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: س³-8=(س-2)(س²+2س+4).

• المثال الرابع: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية 64س³-343ص³.
  • الحل:
  • يجب أولاً التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدود، وفي هذه الحالة لا يوجد.
  • نلاحظ أنّ الحَدَّ الأول 64س³عبارة عن مكعب كامل= 4س، كما أنّ الحَدَّ الثاني 343ص³عبارة عن مكعب كامل= 7ص×7ص×7ص، وبهذا يمكن كتابة المسألة على صورة: 64س³-343ص³= (4س)³-(7ص)³.
  • استخدام الصيغة العامة للفرق بين مكعبين والتعويض فيها لينتج أن: (4س)³-(7ص)³= (4س-7ص)×((4س)²+(4س×7ص)+(7ص)²)
  • (4س)³-(7ص)³ = (4س-7ص)×(16س²+28س ص+49ص²).

• المثال الخامس: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 250س⁴-128س باستخدام الفرق بين المكعبين.
  • الحل:
  • يجب أولاً التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدود، وخاصة في هذه الحالة؛ لأن كلا الحدين لا يمثل مكعباً كاملاً، وفي هذه الحالة يمكن ملاحظة أن هناك عامل مشترك هو 2س يمكن استخراجه لتصبح المسألة كما يأتي: 2س(125س³-64)، والتي تضم مكعبين كاملين.
  • الجذر التكعيبي للحد (125س³) يُساوي 5س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (64) يُساوي 4، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: 250س⁴-128س =2س(5س-4)(25س²+20س+16).

• المثال السادس: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 40س³-625ص³.
  • يجب أولاً التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدود، وخاصة في هذه الحالة؛ لأن كلا الحدين لا يمثل مكعباً كاملاً، وفي هذه الحالة يمكن ملاحظة أن هناك عامل مشترك هو 5 يمكن استخراجه لتصبح المسألة كما يأتي: 5(8س³-125ص³)، والتي تضم مكعبين كاملين.
  • الجذر التكعيبي للحد (8س³) يُساوي 2س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (125ص) يُساوي 5ص، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: 40س³-625ص³= 5(2س-5ص)(4س²+10س ص+25ص²).

• المثال السابع: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: س³ص⁶-64.
  • الحل:
  • يجب أولاً التأكد من وجود عامل مشترك، وفي هذه الحالة لا يوجد.
  • إنّ ثنائي الحدود المُعطى يُمثّل الفرق بين مُكعّبين حيث إنّ الحد س³ص⁶ يعتبر مُكعّباً كاملاً، والحد 64 أيضاً جاء على شكل مُكعّب كامل، والجذر التكعيبي للحد (س³ص⁶) يُساوي س ص²، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (64) يُساوي 4، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص )(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: س³ص⁶-64=(س ص²-4)(س²ص⁴+4س ص²+16).

• المثال الثامن: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 27س³-1/(8ص³).
  • الحل:
  • يجب أولاً التأكد من وجود عامل مشترك، وفي هذه الحالة لا يوجد.
  • إنّ ثنائي الحدود المُعطى يُمثّل الفرق بين مُكعّبين حيث إنّ الحد 27س³ يعتبر مُكعّباً كاملاً، والحد 1/(8ص³) أيضاً جاء على شكل مُكعّب كامل، والجذر التكعيبي للحد (27س³) يُساوي 3س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد 1/(8ص³) يُساوي 1/(2ص)، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص )(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: 27س³-1/(8ص³)=(3س-1/(2ص))(9س²+(3س)/(2ص)+1/(4ص²)).

• المثال التاسع: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: س³-1.
  • الحل:
  • يجب أولاً التأكد من وجود عامل مشترك، وفي هذه الحالة لا يوجد.
  • إنّ ثنائي الحدود المُعطى يُمثّل الفرق بين مُكعّبين حيث إنّ الحد س³ يعتبر مُكعّباً كاملاً، والحد 1 أيضاً جاء على شكل مُكعّب كامل، والجذر التكعيبي للحد (س³) يُساوي س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد 1 يُساوي 1، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص )(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: س³-1=(س-1)(س²+س+1).

• المثال العاشر: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 648س³-81.
  • الحل:
  • يجب أولاً التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدود، وخاصة في هذه الحالة؛ لأن كلا الحدين لا يمثل مكعباً كاملاً، وفي هذه الحالة يمكن ملاحظة أن هناك عامل مشترك هو 3 يمكن استخراجه لتصبح المسألة كما يأتي: 3(216س³-27)، والتي تضم مكعبين كاملين.
  • الجذر التكعيبي للحد (216س³) يُساوي 6س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (27) يُساوي 3، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: 648س³-81= 3(6س-3)(36س²+18س+9).

• المثال الحادي عشر: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 8س³-1000.
  • الحل:
  • إنّ ثنائي الحدود المُعطى يُمثّل الفرق بين مُكعّبين حيث إنّ الحد 8س³ يعتبر مُكعّباً كاملاً، والحد 1000 أيضاً جاء على شكل مُكعّب كامل، والجذر التكعيبي للحد (8س³) يُساوي 2س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد 1000 يُساوي 10، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: 8س³-1000=(2س-10)(4س²+20س+100).

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات من الدرجة الثالثة يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.
لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلات الجبرية.