كتب equations of the first order
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
معادلات من الرتبة الأولى (معلومة)
بشكل عام، يمكن عرض المعادلة من الرتبة الأولى بصورة . الهدف هو البحث عن دالة إذا عوضنها في تكون النتيجة 0.
مثال
الدالة المعادلة تكون .الحل العام هو: . وبالفعل يتحقق , لذلك إذا عوّضنا تكون النتيجة , كالمطلوب.
كما ذكرنا، في معادلة تفاضلية نحصل على عدّة حلول متعددة، الحل المطلوب ممكن حصره بواسطة : شرط حدي - شرط ابتدائي (أنظر شروط الحدية).
بشكل خاص؛ لمعادلات تفاضلية من الرتبة الاولى هناك مبرهنة بيكار ليندلوف ذات خواص مهمة لايجاد الحل.
معادلة خطيّة متجانسة وغير متجانسة من الرتبة الأولى
تظهر معادلة خطية من الرتبة الأولى على الصورة . إذا كان تسمى المعادلة بالمعادلة المتجانسة؛ .
هو معامل تكاملي، ونضيف حلا إضافيا يسمى الحل المنفرد وهو يتحقق في شرط حدي . إذا يمكن استنتاج هذا الحل من الحل العام لذلك الحال العام كامل.
المعادلة غير المتجانسة يمكن كتابة حلها حاصل جمع بين حل عام لمعادلة تفاضلية متجانسة وحل خاص لمعادلة تفاضلية غير متجانسة.
نعرض الآن حلا عاما للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة
نستعين في دالة :
نضرب الجهتين في الدالة المساعدة:
نطلب:
هي معادلة تفاضلية متجانسة، حلها:
نستعين في الدالة المساعدة لنصل إلى الحل النهائي:
فصل المتغيرات
هي من الصورة:
طريقة الحل تكون بفصل المتغيرات ثم القيام بالتكامل.
أي أن :
وهذا بالضبط ما قمنا به في المعادلة المتجانسة من الرتبة الأولى.
ملاحظة: فصل المتغيرات يعني فصل كل ما يتعلق بالمتغير المستقل عن متغير المعادلة (المتغير التابع) .
معادلة الخط المستقيم
نرمز: ومنها نعود لمعادلة فصل المتغيرات.
معادلة على الصورة (y"=f(y/x
نوصل الصورة المعطاة لمعادلة قابلة للفصل عن طريق الرمز لِ .
معادلة برنولي
معادلة برنولي من الصورة . واضح ان هو حل للمعادلة.
نفرض أن ، نقسم على :
نرمز أي ، فنحصل على الدالة الخطية .
نجد ومنها يمكننا ايجاد - المتغير التابع المطلوب.
معادلة تامّة
لتكن دالة قابلة للاشتقاق. حيث و . حسب قاعدة السلسلة يتحقق:
وبشكل رمزي نكتب:
إذا كانت حينئذ .
من هذا المنطلق ننظر للمعادلة :
- إذا تحقق حينها تسمى المعادلة معادلة تامّة.
- وإذا كانت دالة تحقق:
وأيضاً . تكون المعادلة شبيهة ل وحينها نقول الحل هو .
إذا لم تكن المعادلة تامّة، أي أن حينها نستعين بمعامل التكامل بحيث : نطلب:
ملاحظة:بشكل عام نطلب ان -متعلقة فقط ب أو نطلب ان -متعلقة فقط ب وذلك حسب المعادلة التي نريد حلها.
معاني هندسية في المعادلات التفاضلية
حقل الاتجاه: نستطيع تمثيل ميل كل حل خاص على المحور بواسطة اسهم -لا يوجد معنى لطول السهم- ، بحيث ان اختيار شرط بدائي يعطينا حل واحد هو دالة.
- إذا قمنا بالوصل بين الاسهم تظهر الحلول.
نظرية وجود وأحادية الحل لمعادلة تفاضلية رتبة أولى
معطى: وأيضاَ
نفرض أن الدالة وكل مشتقاتها الجزئية حسب متصلة في المجال ثنائي البعد في محور وهذا المجال يحوي نقطة الشرط الحدي (أنظر شروط الحدية ) .
فنقول أنه موجود منطقة مستطيلة للنقطة على الأقل في المجال فيه حل موجود وهو . وهو واحد ووحيد.
