كتب derivation by mathematical induction
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
الاشتقاق بالاستقراء الرياضي (معلومة)
باتباع النقاش المعطى في (Apostol).
يمكن تعريف كثيرات حدود بيرنولي Bn(x), n = 0, 1, 2, ... بشكل معاود كما يلي:
البعض الأولى من هذه هي
القيم Bn(1) هي أعداد بيرنولي. لاحظ أن لأجل n ≥ 2 يكون لدينا
نعرف دوال بيرنولي الدورية Pn بالصورة
حيث ترمز لأكبر عدد صحيح ليس أكبر من x. وعليه فإن Pn تتفق مع كثيرات حدود بيرنولي على الفترة (0, 1) كما أنها دورية إذا كان الدور = 1. إذن,
لأجلn = 1,
والان، باعتبار التكامل
حيث
التكامل بالتجزيء, نحصل على
وبجمع الصورة السابقة k = 0 to k = n − 1, نحصل على
بإضافة (ƒ(0) + ƒ(n))/2 إلى كلا الطرفين واعادة الترتيب نحصل على
يعطي الحدين الأخيرين بالتالي الخطأ عند تقريب التكامل بالمجموع.
فيما يلي لنعتبر
حيث
وبالتكامل بالتجزيء مرة أخرى، نحصل على
الجمع من k = 0 إلى k = n − 1, ومن ثم بتعويض التكامل الأخير في (1) بالذي أثبتنا للتو أنه مساو له، نجد أنe
والآن، لابد أن القارئ قد حزر بأن هذه العملية تكرارية. استطعنا الحصول على إثبات لصيغة مجموع أويلر-ماكلورين بالاستقراء الرياضي, حيث اعتمدت خطوة الاستقراء على التكامل بالتجزيء ومطابقات دوال بيرنولي الدورية.
