كتب define the state of a single variable for a real scale
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
تعريف حالة متغير واحد لمقياس حقيقي (معلومة)
لأي دالة غير متناقصة α على الأعداد الحقيقية، يمكن تعريف تكامل ليبسيغ-ستيلجيس:
لدالة f . إذا كان هذا التكامل محدودا لجميع كثيرات الحدود f ، يمكن تعريف المنتج الداخلي على أزواج من متعددي الحدود f و g بواسطة:
هذه العملية تكون إيجابية ونصف محددة حاصل الضرب الداخلي على فراغ اتجاهي من كل كثيرات الحدود، وإيجابية محددة إذا كان الدالة α على عدد لا حصر له من نقاط النمو. هذا يدل على فكرة التعامدية بالطريقة المعتادة، أي أن اثنين من كثيرات الحدود تكون متعامدة إذا كان ناتج ضربها الداخلي هو صفر. ثم أن تسلسل (Pn)n=0∞ من متعددو الحدود متعامد يعرف بواسطة العلاقات:
وبعبارة أخرى، تم الحصول عليها من تسلسل 1, x, x2, ... من قبل معلاج غرام شميدت:
وعادة ما يطلب أن يكون التسلسل متعامد ومستنظم، بشكل أساسي:
ومع ذلك، تستخدم أحيانا تطبيعات أخرى.
حالة مستمرة مطلقة
في بعض الأحيان يكون عندنا:
حيث
هي دالة غير سلبية مع الدعم على الفاصل في الخط الحقيقي (حيث and مسموح به). حيث تكون الW دالة ترجيح.
عندها يكون حاصل الجداء الداخل كالتالي:
ولكن هناك العديد من الأمثلة على متعددو الحدود المتعامدة حيث القياس dα(x) عنده نقاط غير صفرية القيمة حيث الدالة α تكون متقطعة، لذلك لا يمكن أن تعطى بدالة ترجيح W كما هو مبين أعلاه.
