كتب decomposing a number into its prime factors

نظرة عامة حول التحليل إلى العوامل الأولية

يمكن تعريف الأعداد أو العوامل الأولية (بالإنجليزية: Prime Numbers) بأنّها أعداد صحيحة أكبر من العدد واحد، ولا تقبل القسمة إلاّ عليه وعلى نفسها؛ ومن الأمثلة عليها: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، وهي بذلك الأعداد التي تمتلك عاملين فقط، هما: العدد نفسه، والعدد واحد، ويقصد بالتحليل إلى العوامل (بالإنجليزية: Prime Factorization) إيجاد الأعداد الأولية التي يساوي حاصل ضربها ببعضها العدد الأصلي المُراد تحليله إلى عوامله الأولية، وفي هذه العملية يتم دائماً تجاهل العدد (1)، وعدم اعتباره من العوامل الأولية، ويجدر بالذكر هنا أن الأعداد التي تنتج من حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الأخرى ببعضها تُسمّى بالأعداد المركّبة (بالإنجليزية: Composite Number)، أما الأعداد الصحيحة التي تُصرب ببعضها للحصول على الأعداد المركّبة فتُعرف باسم العوامل (بالإنجليزية: Factors)، ويمكن لهذه العوامل أن تكون أعداداً أولية أو غير أولية.

لمزيد من المعلومات حول الأعداد الأولية يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هي الأعداد الأولية.

طرق التحليل إلى العوامل الأولية

يمكن تحليل العدد إلى عوامله الأولية باستخدام إحدى الطرق الآتية:

• الطريقة التقليدية: يتمّ فيها البدء بقسمة العدد على أصغر عدد أولي ممكن، أو على أي عدد أولي آخر يتم العثور عليه، ثم الاستمرار بالقسمة على الأعداد الأولية المتاحة حتى الوصول إلى آخر عدد أولي، وذلك حسب المثال الآتي:
• حلّل العدد 12 إلى عوامله الأولية.
  • القسمة على عدد أولي وهو العدد 2؛ لأن 12 عدد زوجي، وذلك كما يلي: 12/2=6، واعتبار العدد (2) أول عدد أولي للعدد (12).
  • العدد 6 ليس عدداً أولياً، لذا يجب قسمته أيضاً على عدد أولي آخر وهو العدد 2؛ لأن 6 عدد زوجي، وذلك حسب الآتي: 6/2=3، وهو عدد أولي، لذلك يجب التوقف هنا، واعتبار العددين 2،3 أعداداً أولية للعدد (12).
  • الأعداد الأولية للعدد 12 تكون على النحو الآتي: 2×2×3 = 12.
  • يمكن تمثيل ما سبق على النحو الآتي:

• طريقة الشجرة (بالإنجليزية: Factor Tree): وهي عبارة عن طريقة تستخدم مخطّطاً لتجزئة الأعداد بهدف الوصول إلى عواملها الأولية، وذلك بالعثور على عددين حاصل ضربهما هو العدد المطلوب تحليله، والاستمرار بتجزئة كل عدد غير أولي حتى الوصول إلى جميع الأعداد الأولية، وذلك كما يلي:
• حلّل العدد 24 إلى عوامله الأولية.
  • العثور على عددين حاصل ضربهما هو 24، وهما (2×12) مثلاً.
  • العدد 12 هو عدد غير أولي، وبالتالي يجب العثور على عددين حاصل ضربهما هو 12، وهما (3×4) مثلاً.
  • العدد 4 هو عدد غير أولي، وبالتالي يجب العثور على عددين حاصل ضربهما هو 4، وهما (2×2)، وهما عددان أوليان لذلك يجب التوقف هنا.
  • وبالتالي فإنّ الأعداد الأولية للعدد 24 هي: 3×2×2×2 = 24.
  • يمكن تمثيل ما سبق على النحو الآتي:

24 ← 2×12 ← 2×3×4 ← 2×3×2×2.

ومن القواعد التي قد تساعد في العثور على الأعداد التي يمكن للعدد المطلوب تحليله القسمة عليها دون باقٍ ما يلي:

• إذا كان العدد زوجياً، فهو يقبل القسمة على (2) بالتأكيد.
• إذا كان خانة الآحاد للعدد المطلوب تحليله هي: (5،0)، فهو يقبل القسمة على (5) بالتأكيد.
• إذا كان مجموع خانتي الآحاد والعشرات في العدد المطلوب تحليله يقبل القسمة على (3)، فهو يقبل القسمة على (3) بالتأكيد.
• في حال عدم قابلية العدد المطلوب تحليله القسمة على (2)، (3)، (5)، فيجب حينها البحث عن أعداد أولية أكبر مثل (7)، (11)، (13)، وهكذا حتى العثور على عدد يمكن للعدد المطلوب تحليله القسمة عليه دون باقٍ.

أمثلة متنوعة حول التحليل إلى العوامل الأولية

• المثال الأول حلّل العدد 36 إلى عوامله الأولية.
  • الحل:
  • القسمة على عدد أولي وهو العدد 2، وذلك كما يلي: 36/2 = 18، واعتبار (2) أول عامل أولي للعدد 36.
  • العدد 18 ليس عدداً أولياً، لذا يجب قسمته أيضاً على عدد أولي آخر وهو العدد 2؛ لأن 18 عدد زوجي، وذلك كما يلي: 18/2=9، واعتبار (2) ثاني عامل أولي للعدد 36.
  • العدد 9 ليس عدداً أولياً، لذا يجب قسمته أيضاً على عدد أولي آخر وهو العدد 3، وذلك كما يلي: 9/3=3، واعتبار (3) ثالث عامل أولي للعدد 36.
  • العدد 3 عدد أولي؛ لذلك يجب التوقف هنا، واعتبار (3) رابع عامل أولي للعدد 36.
  • الأعداد الأولية للعدد 36 تكون على النحو الآتي: 2×2×3×3 = 36.
  • يمكن تمثيل ما سبق على النحو الآتي:

• المثال الثاني حلّل العدد 1386 إلى عوامله الأولية.
  • الحل:
  • العثور على عددين حاصل ضربهما هو 1368، وهما (2×684) مثلاً.
  • العدد 684 هو عدد غير أولي، وبالتالي يجب العثور على عددين حاصل ضربهما هو 684، وهما (171×4) مثلاً.
  • العدد 4، وكذلك العدد 171 غير أولي، وبالتالي يجب العثور على عددين حاصل ضربهما هو 4، وعددين حاصل ضربهما هو 171، وهما (2×2)، و(57×3) على الترتيب.
  • العدد 57 هو عدد غير أولي، وبالتالي يجب العثور على عددين حاصل ضربهما هو 57، وهما (3×19) مثلاً، وكلاهما عدد أولي؛ لذلك يجب التوقف هنا.
  • وبالتالي فإنّ الأعداد الأولية للعدد 1368هي: 2×2×2×3×3×19 = 1386.

1386 ← 2×684 ← 2×171×4 ← 2×57×3×2×2 ← 2×19×3×3×2×2.

• المثال الثالث حلّل العدد 90 إلى عوامله الأولية.
  • الحل:
  • العثور على عددين حاصل ضربهما هو 90، وهما (3×30) مثلاً.
  • العدد 30 هو عدد غير أولي، وبالتالي يجب العثور على عددين حاصل ضربهما هو 30، وهما (15×2) مثلاً.
  • العدد 15غير أولي، وبالتالي يجب العثور على عددين حاصل ضربهما هو 15، وهما (5×3)، وكلاهما عدد أولي لذلك يجب التوقف هنا.
  • وبالتالي فإنّ الأعداد الأولية للعدد 90 هي: 2×3×3×5= 90.

90 ← 3×30 ← 3×2×15 ← 2×3×5×3.

• المثال الرابع حلّل العدد 30 إلى عوامله الأولية.
  • الحل:
  • القسمة على أصغر عدد أولي ممكن وهو العدد 2؛ لأن 30 عدد زوجي وذلك كما يلي: 30/2 = 15، واعتبار (2) أول عامل أولي للعدد 30.
  • العدد 15 ليس عدداً أولياً، لذا يجب قسمته أيضاً على عدد أولي ممكن وهو العدد 3، وذلك كما يلي: 15/3=5، وهو عدد أولي، واعتبار (3) ثاني عامل أولي للعدد 30.
  • العدد 5 عدد أولي، لذا يجب التوقف هنا، واعتبار (5) ثالث عامل أولي للعدد 30.
  • الأعداد الأولية للعدد 30 تكون على النحو الآتي: 2×3×5 = 30.
  • يمكن تمثيل ما سبق على النحو الآتي:

• المثال الخامس حلّل العدد 1050 إلى عوامله الأولية.
  • الحل:
  • بالطريقة التقليدية:
    • القسمة على عدد أولي وهو العدد 2؛ لأن 1050 عدد زوجي، وذلك كما يلي: 1050/2 = 525، واعتبار (2) أول عامل أولي للعدد 1050.
    • العدد 525 ليس عدداً أولياً، لذا يجب قسمته أيضاً على عدد أولي آخر وهو العدد 5، وذلك كما يلي: 525/5=105، واعتبار (5) ثاني عامل أولي للعدد 1050.
    • العدد 105 ليس عدداً أولياً، لذا يجب قسمته أيضاً على عدد أولي آخر وهو العدد 5، وذلك كما يلي: 105/5=21، واعتبار (5) ثالث عامل أولي للعدد 1050.
    • العدد 21 ليس عدداً أولياً، لذا يجب قسمته أيضاً على عدد أولي آخر وهو العدد 3، وذلك كما يلي: 21/3=7، واعتبار (3) رابع عامل أولي للعدد 1050.
    • العدد 7 عامل أولي، لذا يجب التوقف هنا، واعتباره العامل الأولي الخامس للعدد 1050.
    • الأعداد الأولية للعدد 1050 تكون على النحو الآتي: 2×3×5×5×7 = 1050.
    • يمكن تمثيل ما سبق على النحو الآتي:

• • بطريقة الشجرة:
  • العثور على عددين حاصل ضربهما هو 1050، وهما (2×525) مثلاً.
  • العدد 525 هو عدد غير أولي، وبالتالي يجب العثور على عددين حاصل ضربهما هو 525، وهما (105×5) مثلاً.
  • العدد 105 غير أولي، وبالتالي يجب العثور على عددين حاصل ضربهما هو 105، وهما (5×21).
  • العدد 21 هو غير أولي، وبالتالي يجب العثور على عددين حاصل ضربهما هو 21، وهما (3×7) مثلاً، وكلاهما عدد أولي؛ لذلك يجب التوقف هنا.
  • وبالتالي فإنّ الأعداد الأولية للعدد 1050 هي: 2×3×5×5×7 = 1050.

1050 ← 2×525 ← 2×5×105 ← 2×5×5×21 ← 2×5×5×3×7.

• المثال السادس حلّل العدد 42 إلى عوامله الأولية.
  • الحل:
  • العثور على عددين حاصل ضربهما هو 42، وهما (6×7) مثلاً.
  • العدد 6 هو عدد غير أولي، وبالتالي يجب العثور على عددين حاصل ضربهما هو 6، وهما (3×2) مثلاً، وكلاهما عدد أولي لذلك يجب التوقف هنا.
  • وبالتالي فإنّ الأعداد الأولية للعدد 42 هي: 2×3×7 = 42.

42 ← 7×6 ← 7×2×3.

• المثال السابع حلّل العدد 2025 إلى عوامله الأولية.
  • الحل:
  • القسمة على عدد أولي وهو العدد 5، وذلك كما يلي: 2025/5 = 405، واعتبار (5) أول عامل أولي للعدد 2025.
  • العدد 405 ليس عدداً أولياً، لذا يجب قسمته أيضاً على عدد أولي آخر وهو العدد 5، وذلك كما يلي: 405/5= 81، واعتبار (5) ثاني عامل أولي للعدد 2025.
  • العدد 81 ليس عدداً أولياً، لذا يجب قسمته أيضاً على عدد أولي آخر وهو العدد 3، وذلك كما يلي: 81/3=27، واعتبار (3) ثالث عامل أولي للعدد 2025.
  • العدد 27 ليس عدداً أولياً، لذا يجب قسمته أيضاً على عدد أولي آخر وهو العدد 3، وذلك كما يلي: 27/3=9، واعتبار (3) رابع عامل أولي للعدد 2025.
  • العدد 9 ليس عدداً أولياً، لذا يجب قسمته أيضاً على عدد أولي آخر وهو العدد 3، وذلك كما يلي: 9/3=3، واعتبار (3) خامس عامل أولي للعدد 2025.
  • العدد 3 عدد أولي؛ لذلك يجب التوقف هنا، واعتبار (3) سادس عامل أولي للعدد 2025.
  • الأعداد الأولية للعدد 2025 تكون على النحو الآتي: 3×3×3×3×5×5 = 2025.
  • يمكن تمثيل ما سبق على النحو الآتي: