كتب asymptotes of functions
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
خطوط تقارب الدوال (معلومة)
خطوط تقارب المنحنيات التي على الصورة (y = ƒ(x تظهر أكثر ما تظهر في حساب التفاضل والتكامل، ويمكن حسابها باستخدام النهايات، وهي تقع في أحد ثلاثة أنواع بحسب اتجاهها: خطوط تقارب أفقية، ورأسية، ومائلة. خطوط التقارب الأفقية هي خطوط أفقية يقترب منها رسم الدالة عندما تئول x إلى +∞ أو −∞، وكما يتضح من اسمها فإنها توازي محور السينات إن لم تكن تنطبق عليه. خطوط التقارب الرأسية هي خطوط رأسية (عمودية على محور السينات) تزداد بالقرب منها قيمة الدالة زيادة بلا حدود. وأخيرًا، خطوط التقارب المائلة هي خطوط تميل على الأفقي بزاوية ما، بحيث يقترب الفرق بين المنحنى وهذا الخط من الصفر عندما تئول x إلى +∞ أو −∞، هذا يسهل وضع تعريف معمم لخطوط التقارب.
المستقيمات المقاربة
خطوط التقارب الرأسية
يقال أن الخط x == a خط تقارب رأسي للدالة (y == ƒ(x إذا تحقق أحد الشرطين التاليين على الأقل:
مثلاً، إذا كانت (ƒ(x) = x/(x-1 فإن البسط يقترب من 1، والمقام يقترب من الصفر عندما تقترب x من 1. وبالتالي فإن
ويكون للمنحنى خط تقارب عند x=1.
سواء كانت الدالة (ƒ(x معرفة أو غير معرفة عند a، فإن قيمتها عند النقطة x = a لن تؤثر في خط التقارب، مثلاً الدالة:
لها نهاية +∞ عندما x → 0+، ومع ذلك فإن لها خط تقارب رأسي عند x = 0، ذلك مع أن ƒ(0) = 5، مما يعني أن رسم الدالة يتقاطع مع خط التقارب الرأسي تقاطعًا وحيدًا عند النقطة (0,5)، ومن الجدير بالذكر أن رسم أي دالة لا يمكن أن يتقاطع مع محور تقارب رأسي في أكثر من نقطة وحيدة.
خطوط التقارب الأفقية
خطوط التقارب الأفقية هي خطوط أفقية يقترب منها رسم الدالة عندما x → ±∞، يقال أن الخط الأفقي y = c هو خط تقارب أفقي للدالة (y = ƒ(x إذا كانت
أو
الدالة (ƒ(x، في الحالة الأولى، لها خط تقارب عند y = c عندما تئول x إلى −∞، ولها خط تقارب، في الحالة الثانية، عند y = c عندما تئول x إلى +∞
دالة الظل المثلثية العكسية (arctan)، على سبيل المثال، تحقق ما يلي
و
وبالتالي فإن الخط y == −π/2 هو خط تقارب أفقي لدالة الظل العكسية (أو بمعنى آخر مماس أفقي للدالة) عندما تئول x إلى −∞، كما أن الخط y == π/2 هو خط تقارب أفقي (مماس أفقي) للدالة عندما تئول x إلى +∞.
من الممكن أن لا يكون هنالك خطوط تقارب أفقية لبعض الدوال في أحد الجانبين أو كليهما، أو من الممكن أن يكون لها نفس خط التقارب الأفقي في الجانبين، فمثلا الدالة (ƒ(x) = 1/(x2+1 لها خط تقارب عند y = 0 عندما تئول x إلى −∞، ذلك الخط عينه هو خط تقارب أفقي لنفس الدالة عندما تئول x إلى +∞؛ أي أن
خطوط التقارب المائلة
إذا لم يكن خط التقارب المستقيم موازيًا لمحور السينات ولا عموديًا عليه فإنه يسمى خط تقارب مائل، ويقال حينئذ أن الدالة (ƒ(x تقاربية من الخط المستقيم y = mx + n (حيث m ≠ 0) إذا كانت
أو
الخط y == mx + n، في الحالة الأولى، خط تقارب مائل للدالة (ƒ(x عندما تئول x إلى +∞، والخط y == mx + n، في الحالة الثانية، خط تقارب مائل للدالة (ƒ(x عندما x تئول إلى −∞.
مثلاً الدالة ƒ(x) = x−1/x لها خط تقارب مائل، هو الخط y = x أي أن (m = 1, n = 0) (انظر الرسم إلى اليسار). وبتطبيق النهاية المذكورة أعلاه
مما يوضح أن الفرق بين الخط والدالة عند +∞ أو −∞ يئول إلى الصفر.
المنحنيات المقاربة
يكون منحنى المعادلة y = g (x) مقاربا لمنحنى المعادلة y = f(x) عند ±∞ إذا تحقق ما يلي:
