كتب applications in complex number theory
اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.
التطبيقات في نظرية الأعداد المركبة (معلومة)
يمكن تفسير الصيغة بالقول أن الدالة eix تمثل جميع النقاط الواقعة على دائرة الوحدة في مستوى الأعداد المركبة، ذلك عندما يكون مدى x في نطاق الأعداد الحقيقية. حيث x هي الزاوية المحصورة بين الخط الواصل من نقطة الأصل إلى أي نقطة على الدائرة وبين الاتجاه الموجب لمحور السينات، مقاسة في اتجاه عكس عقارب الساعة، وبالتقدير الدائري.
الإثبات الأصلي الذي قدمه أويلر يعتمد على مفكوك تايلور للدالة الأسية ez (حيث z عدد مركب)، ودالة الجيب sin x، وجيب التمام cos x لأي عدد حقيقي x (سيتم تناول الإثبات أدناه)، في الحقيقة هذا الإثبات يبين أن صيغة أويلر صحيحة لكل عدد مركب z.
أي نقطة في المستوى المركب من الممكن أن تمثل بعدد مركب مكتوب في صورة إحداثيات ديكارتية، تقدم صيغة أويلر وسيلة للتحويل من هذه الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية، مما يقلل الحدين إلى حد واحد، وهذا بدوره يبسط عمليات ضرب أو قسمة الأعداد المركبة، كما يبسط رفعها لأي قوى. أي عدد مركب z = x + iy من الممكن أن يكتب على الصورة:
حيث
الجزء الحقيقي : الجزء التخيلي :
- مقياس z
- .
تعني سعة العدد المركب z; أي الزاوية بين الاتجاه الموجب لمحور السينات والمتجه z، مقاسة في اتجاه عكس عقارب الساعة وبالتقدير الدائري، هذه الزاوية لا يحدث لها تغير إذا أضيف إليها 2π؛ ذلك أن الزاوية الناتجة ستكون مكافئة للزاوية الأصلية. عندما تكون x ≤ 0 يجب تعديل بحسب الربع الذي تقع فيه.
من العلاقة السابقة يتبين أن صيغة أويلر من الممكن أن تستخدم في إيجاد لوغاريتم عدد مركب، مع الأخذ في الاعتبار أن اللوغاريتم هو عملية عكسية لعملية الرفع للأسس كالتالي
كما أن
وكلاهما صحيحان لأي عددين مركبين a وb.
وهكذا يمكن من كتابة ما يلي:
وبأخذ لوغاريتم الطرفين فإن:
- لكل z ≠ 0،
وهذه الصيغة من الممكن أن تستخدم باعتبارها تعريف اللوغاريتم المركب، وهكذا فإن لوغاريتم عدد مركب هو دالة متعددة القيم؛ نتيجة أن متعددة القيم.
واخيرًا قانون الأس الذي ينص على أن
والذي من الممكن أن تثبت صحته لكل عدد صحيح k، من الممكن أن يستخدم، إلى جانب صيغة أويلر، لتوليد عدة متطابقات مثلثية، ذلك إلى جانب إثبات صيغة ديموافر.
