كتب harmonic resonance circuit

وصف الرنان

تحتوي دائرة الرنان دائما على مقاومة تشكل الطاقة المفقودة في أسلاك التوصيل والملف والمكثف وهي طاقة الموجات الكهرومغناطيسية المنبثة من الدائرة. ويتميز التيار الكهربائي I_R بأنه يتردد بنفس طور الجهدU والذي تكون له أيضا قيمة فوق الصفر في حالة الرنين. ولذلك فلن تصل قيمة المقاومة في حالة الرنين للتوصيلة على التوازي إلى مالا نهاية. إلا أن المقاومة التخيلية (المركبة) Z قد تصل إلى نهاية عُظمى :

وبصفة عامة تكون الطاقة المفقودة من المكثف أقل بكثير من الطاقة المفقودة (أو المرسلة) من الملف. وتُشكل مقاومة الملف عادة بتوصيل L_p وR_p على التوالي. ويمكن تعديل تلك التوصيلة إلى نظيرتها الموصولة على التوازي حيث نحصل على الصورة اليمنى. فتكون القيمة الناتجة عن توصيل المكثف C والملف L_p مساويا للصفر في حالة الرنين. وهي هذه الحالة تقتصر الممانعة في دائرة التوصيل على التوازي على المقاومة R_p والتي تقاس بالأوم ، ونحصل على :

وينطبق تردد الرنين f₀ في الحالة المثالية عندما تكون R_L = 0. ولكن الدائرة الواقعية التي نتعامل معها هنا لها مقاومة أكبر من الصفر :

وهذه أصغر قليلا من ويمكن حسابها :

كيف يحدث الرنين

في دائرة التوصيل على التوازي:

1. نعتبر أولا لحظة أن يكون المكثف بكامل شحنته. عندئذ يكون الجهد أعلى ما يكون على قطبي المكثف وبالتالي على دائرة الرنان (شكل 1).
2. يتسبب الجهد الموجود في مرور تيار ويبدأ المكثف يفقد شحنته أولا بسرعة ثم ببطء. ويحدث ذلك لأن تزايد مرور التيار في الملف ينتج جهدا في الملف مضادا بسبب الحث، مما يهدئ من مرور التيار.
3. ويقل الجهد حتي يختفي في هذا الوقت تصل شدة التيار نهايتها العظمى. وفي هذا الوقت أيضا تكون شدة المجال المغناطيسي في الملف نهايته العظمي ويفقد المكثف كل شحنته. وتكون الطاقة الآن مشحونة في المجال المغناطيسي للملف (شكل 2).
4. بعدما وصلت شدة التيار أقصاها تبدأ في الانهيار ثانيا ويقل بالتالي المجال المغناطيسي في الملف. وطبقا لقاعدة لنز يتسبب ذلك في نشأة جهد بالحث ويكون ذو إتجاه مضاد، بحيث تنهار شدة التيار ببطء شديد. وبالتالي يرتفع فرق الجهد بين لوحي المكثف ثانيا إلا أنه يكون معكوس القطبية بالنسبة للحالة الأولى. وهذا ينطبق أيضا على الجهد في دائرة الرنان حيث يتزايد هذا الجهد بقطبية معكوسة.
5. بينما تنخفض شدة التيار ثانيا حتي تصل إلى الصفر، يحصل المكثف على شحنته الأصلية ثانيا. وتتحول طاقة المجال المغناطيسي المخزونة عدة مرات إلى تيار كهربائي (شكل 3).
6. ثم تعيد تلك العوامل نفسها في اتجاه مضاد.

توهين الذبذبة

توهين الذبذبة أو إضعاف مطال الموجة α للرنان الموصل على التوالي، يعرف بالعلاقة الآتية:

ويعرف للرنان RLC الموصل على التوازي بالعلاقة:

معامل التخميد

يعرف معامل التخميد damping factor ζ بأنه النسبة بين التهوين α وتردد الرنين ω₀:

وعلى ذلك فمعامل التخميد لرنان RLC الموصل على التوالي، يبلغ :

كما يبلغ في حالة الرنان الموصّل على التوازي :

ويسهل من الوجهة العملية التعامل مع معامل التخميد ζ عن التعامل مع معامل التهوين α حيث أن معامل التخميد كمية مطلقة (بدون وحدات) في حين أن معامل التهوين يًقاس بوحدة راديان/ثانية ، عند دراسة خواص الرنان.

والعلاقة بين التردد الزاوي والتردد بالهرتز هي:

ويقاس التردد أو الذبذبة f بالهرتز أو بالكيلو هرتز.

عرض المحزم

تستعمل دائرة الرنين أحيانا كمرشح للتردد حيث تسمح للترددات بالمرور في حيز ضيق وتمنع الترددات الأخرى من المرور. ويسمى هذا الحيز الضيق للترددات عرض المحزم وكلمة محزم تأتي من كلمة حزمة. ولتشفيل الدائرة كمرشح نستبدل المقاومة R بجهاز استقبال ويكون له نفس قيمة المقاومة R. ويصبح حيز المحزم للدائرة الموصولة غلى التوالي محددا بالعلاقة الآتية (بوحدة راديان/ثانية):

ويمكن حساب عرض المحزم بوحدة هرتز بالعلاقة:

ويحدد عرض المحزم حزمة الترددات التي يُسمح لها بالمرور عند تردد نصف القدرة. وهو مقياس ينتسب إلى مطال الجهد الكهربي في منطقة عرض المحزم. وبما أن القدرة تتناسب تناسبا طرديا مع مربع الجهد، فإن عرض المحزم يحدد من جهتيه عند النقطتين التي تنخفض استجابة التردد عندهما إلى من تردد الرنين.

حساب تردد الرنين

نفترض المكونات الآتية لدائرة الرنان الموصول على التوالي:

C == 0,1 μF; L == 50 μH; R_L = 5 Ω

حيث : سعة المكثف (ميكرو فاراد) ; وحث الملف (ميكرو هنري) ; والمقاومة أوم.

بالتعويض عن تلك القيم في معادلة تردد الرنين :

نحصل على :

10⁶

دارة RLC المتوالية

دارة خاضعة لرتبة توتر صاعدة

  إذا عرضنا دارة RLC المتوالية لرتبة توتر صاعدة ، فاننا وباستعمال قانون اضافية التوترات نستنتج ما يلي:

باستغلال العلاقة المميزة للمكثف:

و بالتعويض نحصل على المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية

مع:

: المولد (مستمر)وحدته الفولط.

: التوتر بين مربطي المكثفوحدته الفولط.

: معامل تحريض الوشيعة وحدته الهنري.

: شدة التيار الكهربائي.

:شحنةالمكثف وحدتها كولوم C.

: سعة المكثف وحدتها الفاراد C

:المقاومة الكلية للدارة بالاومΩ.

في حالة نظام بدون تبدد اي ان المقاومة منعدمة فان حل هذه المعادلة يكون على شكل:

مع: :دور  للتذبذبات، بالثانية و φ ثابتتان يتم تحديدهما بالرجوع إلى الشروط البدئية للدارة

و هو ما يعطي:

حيث هو التردد الخاص للدارة بالهرتز Hz.

دارة خاضعة لتوتر جيبي

بالتحويل العقدي للتوترات يمكن كتابة قانون اضافية التوترات كالتالي:

نعطي الكتابة العقدية للممانعات:

و الدور الخاص ω₀عند الرنين:

بالتعويض في العلاقة اعلاه نحصل على :

و لدينا :

دارة RLC المتوازية

car

انتباه : الفرع C  يشكل دارة قصيرة : لا يمكن وصل كل كن A وB بمربطي مولد E ، يجب ان نضيف اليه مقاومة

الشرطان البدئيان هما :

تحافظ على قيمتها قبل غلق الدارة لان التحريض يتناسب عكسيا مع التوتر

تحافظ على قيمتها قبل غلق الدارة

دارة خاضعة لتوتر جيبي

بالكتابة العقدية:

الكتابة العقدية للممانعات كالتالي:

منه:

النبض الخاص عند الرنين:

من اجل هذا النبض يصبح التعبير اعلاه كالتالي::

و لدينا كذلك:

استعمالات دارات RLC

• دارات RLC تستعمل عموما من اجل انجاز تراكيب مرشحات الترددات.أو تحوبل الممانعة.
• تعرف ايضا دارة RLC بدارة  السدادة و ذلك لانها تعدم بعض الترددات الغير مرغوب فيها في الجهاز الذي تم دمجها فيه، على سبيل المثال تقصي الترددات التي تتطفل على المستقبل.
• يمكن لهذه الدارات ان تحوي العديد من الوشيعات و المكثفات : نتحدث اذن عن شبكة LC.
• دارة LC بسيطة تصنف ضمن الدرجة الثانية لان دالة النقل تضم في مقامها حدودية من الدرجة الثانية.