English  
إغلاق الإعلان

كتب مبرهنات في الهندسة الرياضية (6,101 كتاب)

اذا لم تجد ما تبحث عنه يمكنك استخدام كلمات أكثر دقة.

عرض المزيد

مبرهنات اساسية حول التقارب (معلومة)

المبرهة الأولى : وحدانية نهاية متتالية

إذا كانت المتتالية العددية متقاربة من العدد و من العدد فإن .

الاثبات : ليكن عندئذ ويوجد عددان طبعيان يختلفان عن الصفر و بحيث يكون :

ومنه يوجد عدد الطبيعي بحيث يكون :

وبهذا قد برهن على القضية الصحيحة الاتية :

ومنه يمكن استنتاج أن كما يلي :

لو كان لكان وبالتالي لكان يوجد عدد بحيث يكون عندما وهذا غير ممكن اذن وهو المطلوب .

المبرهة الثانية : كل متتالية متقاربة محدودةٌ

كل متتالية عددية متقاربة تكون محدودة .

الاثبات : لتكن المتتالية متقاربة و لنفرض انها متقاربة نحو عندئذ يوجد من اجل كل العدد الحقيقي الموجب 1 عدد طبيعي يختلف عن الصفر بحيث يكون :

ومنه يوجد العدد الحقيقي الموجب : بحيث يكون من أجل كل  :

ومنه : وهذا يعني ان مجموعة قيم المتتالية محدودة وبالتالي فالمتتالية محدودة .

ليس من الضروري ان كل متتالية عددية محدودة تكون متقاربة .

المبرهنة الثالثة : إزاحة حدود متتالية

لتكن المتتالية العددية ليكن و لنفرض أنه من اجل كل يكون و لنأخذ المتتالية العددية عنذئذ :

  1. المتتالية متقاربة من المتتالية متقاربة من .
  2. المتتالية متباعدة لمتتالية متباعدة .

الاثبات

1) لتكن متتالية متقاربة من وليكن عندئذ يوجد بحيث أن :

ثم نفرض أن عندئذ يكون :

وحسب تعريف يمكن القول أنه يوجد عدد طبيعي بحيث يكون :

اذن وهذا يعني أن متقاربة من .

وبالعكس نفرض أن متتالية متقاربة من وليكن عندئذ يوجد بحيث يكون :

وحسب تعريف يمكن ايجاد عدد طبيعي بحيث يكون :

اذن وهذا يعني أن متقاربة من .

2) لتكن متباعدة و لنفرض أن متقاربة و عندئذ و حسب (1) تكون وهذا مستحيل و منه متباعدة .

وبالعكس لتكن متباعدة و لنفرض أن أنها متقاربة و حسب (1) تكون وهذا مستحيل اذن متباعدة .

المبرهنة الرابعة : تقارب المتتاليات الجزئية

تكون المتتالية العددية متقاربة من إذا وفقط إذا كانت كل متتالية جزئية منها متقاربة من .

الاثبات : اولا نفرض أن كل متتالية جزئية من المتتالية متقاربة من عندئذ تكون المتتالية متقاربة من لانها متتالية جزئية من نفسها .

ثانيا لنفرض أن المتتالية متقاربة من ولنأخذ منها متتالية جزئية اختيارية ولتكن ثم نأخذ عندئذ يوجد بحيث يكون : لما كان من أجل كل فإن الحد إما أن يساوي أو يكون يكون واقعا على يمين الحد في المتتالية و منه يكون : إذن المتتالية الجزئية متقاربة من . وبهذا قد أثبتنا المطلوب .

المصدر: wikipedia.org
إغلاق الإعلان
إغلاق الإعلان